四川省雅安市2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、 $- 3 i$ C、1 D、-3

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2. 已知集合 $M = {y | y = \sqrt{x - 3}}$ ， $N = {x | x < 6}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $φ$ B、 $(0 ， 6)$ C、 $[0 ， 6)$ D、 $[3 ， 6)$

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3. 三个数 $a = {(\frac{3}{5})}^{2}$ ， $b = \ln \frac{3}{5}$ ， $c = 2^{\frac{3}{5}}$ 之间的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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4. 函数 $f (x) = \frac{2}{x} - \log_{3} x$ 的一个零点所在的区间是（）

A、(0，1) B、(1，2) C、(2，3) D、(3，4)

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5. 若直线 $y = k x + 2$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 恒有公共点，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[2 ， 3) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $[2 ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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6. “ $k > 1$ ”是“函数 $\in$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $f^{'} (x) = 1 - \frac{2 \ln x}{x} + \frac{2 a}{x} ， x > 0$ ，则 $f' (3)$ 等于（）

A、-4 B、-2 C、1 D、2

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8. 曲线 $f (x) = e^{x} (x^{2} - x - 1)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程是（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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9. 直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 8$ 截得的弦长是（）

A、 $\frac{12 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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10. 设 $f (x) ， g (x)$ 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且 $f^{'} (x) ， g^{'} (x)$ 分别是 $f (x) ， g (x)$ 的导数，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) > 0$ 且 $g (6) = 0$ ，则不等式 $f (x) g (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 6 ， 0) \cup (6 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 6) \cup (0 ， 6)$ C、 $(- 6 ， 0) \cup (0 ， 6)$ D、 $(- \infty ， - 6) \cup (6 ， + \infty)$

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1} 、 F {}_{2}$ ，以 $F {}_{2}$ 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 恰好与圆 $F {}_{2}$ 相切于点 $P$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot e^{x} + (a - e) e^{x} - a e x + b (a ， b \in R)$ 在 $x = 1$ 时取得极大值，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $(- e ， 0)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(- \infty ， - e)$

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二、填空题

13. 当 $a \in R$ 时，有 $(1 - i) (a + i) \in R$ ，则 $a =$ .

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14. 若函数 $f (x) = \frac{x}{(2 x + 1) (x - a)}$ 为奇函数，则 $f (1) =$ .

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15. 若点P是曲线 $y = x^{2} - \ln x$ 上的任意一点，则点P到直线 $y = x - 2$ 的最小距离是.

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16. 双曲线 $C$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，过 $F_{1}$ 斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与双曲线的左右两支分别交于点 $P$ 、 $Q$ ，若 $Q P = Q F_{2}$ ，则该双曲线的离心率是．

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三、解答题

17. 已知 $p$ ：方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆； $q$ ：双曲线 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的实轴长大于虚轴长.若命题“ $p \lor q$ ”为真命题，“ $p \land q$ ”为假命题，求 $m$ 的取值范围．

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18. 小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是

\frac{2}{5}

	几何题	代数题	合计
男同学	22	8	30
女同学
合计

参考数据和公式：

$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、根据题目信息补全上表；

(2)、能否根据这个调查数据判断有

97.5 %

的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？

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19. 设函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

(1)、求该函数的单调区间;

(2)、求该函数在 $[- 1, 3]$ 上的最小值．

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20. 已知 $F$ 是抛物线 $C :$ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $P (1, t)$ 是抛物线上一点，且 $| P F | = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程;

(2)、直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ （ $O$ 为坐标原点），则直线 $l$ 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $E$ 上任一点，且 $| P F_{1} |$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过椭圆的左焦点 $F_{1}$ ，与椭圆交于 $A 、 B$ 两点，且 $Δ O A B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ .

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