江苏省镇江市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知点 $A (1, 5), B (- 1, 3)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角是（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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2. 在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. “ $m = 1$ ”是“直线 $l_{1} : m x + y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : x + m y + 6 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $2 π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、 $3 π$

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5. 圆 $C_{1} : {(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0$ 公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是（）
①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直；③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行；④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直．

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 点 $(1, 2)$ 到直线 $3 x + 4 y - 1 = 0$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{5}$ 或 $\sqrt{5}$ D、 $- \sqrt{7}$ 或 $\sqrt{7}$

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10. 在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $C D$ 上，且 $\vec{BE} = \frac{1}{2} \vec{BC}$ ， $\vec{DF} = \frac{1}{3} \vec{DC}$ ，则 $\vec{AE} \cdot \vec{AF}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、1

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 内，经过点 $P (2 ， 3)$ 的直线分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴交于 $A ， B$ 两点，则 $Δ O A B$ 面积最小值为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ， P B ， P C$ 两两垂直，且 $P A = P B = P C = 1$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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二、填空题

13. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 4 m^{2} - m = 0$ 表示圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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15. 当 $x > 1$ 时，函数 $y = x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值为

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16. 如图，有三座城市 $A ， B ， C$ ．其中 $B$ 在 $A$ 的正东方向，且与 $A$ 相距120 $k m$ ； $C$ 在 $A$ 的北偏东30°方向，且与 $A$ 相距60 $k m$ ．一架飞机从城市 $C$ 出发，沿北偏东75°航向飞行．当飞机飞行到城市 $B$ 的北偏东45°的D点处时，飞机出现故障，必须在城市 $A$ ， $B$ ， $C$ 中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行 $k m$ ，才能降落．

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三、解答题

17. 如图，在直四棱柱 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $ABCD$ 为菱形， $E$ 为 $D D_{1}$ 中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求证： $B D_{1} ⊥ A C$ ．

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18. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{a} = (2 a, \sqrt{3}), \vec{b} = (c, \sin C)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $A C$ 边上的中线 $B M$ 的大小．

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19. 如图，已知等腰直角三角形 $A B C$ 的斜边 $A B$ 所在直线方程为 $y = 2 x - 5$ ，其中 $A$ 点在 $B$ 点上方，直角顶点 $C$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ．

(1)、求 $A B$ 边上的高线 $C H$ 所在直线的方程；

(2)、求等腰直角三角形 $A B C$ 的外接圆的标准方程；

(3)、分别求两直角边 $A C$ ， $B C$ 所在直线的方程．

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20. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ， $∠ ACB = ∠ ACD = 90^{°}$ ， $AC = BC = \sqrt{2} CD = 2$ ， $E ， F ， G$ 分别为 $A B ， A D ， A C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $E F G / /$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A C D$ 的体积；

(3)、求二面角 $D - A B - C$ 的大小．

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21. 如图，在道路边安装路灯，路面 $O D$ 宽 $12 \sqrt{3} m$ ，灯柱 $O B$ 高14 $m$ ，灯杆 $A B$ 与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线 $A C$ 与灯杆 $A B$ 垂直，轴线 $A C$ ，灯杆 $A B$ 都在灯柱 $O B$ 和路面宽线 $O D$ 确定的平面内．

(1)、当灯杆 $A B$ 长度为多少时，灯罩轴线 $A C$ 正好通过路面 $O D$ 的中线?

(2)、如果灯罩轴线AC正好通过路面 $O D$ 的中线，此时有一高2.5 $m$ 的警示牌直立在 $C$ 处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．

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22. 已知圆 $C$ 经过 $A (- 2 ， 0) ， B (1 ， \sqrt{3})$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $l_{1} ： y = x$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $P (1 ， 2)$ 的直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 相交截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(3)、已知点 $M (1 ， 1)$ ，在平面内是否存在异于点 $M$ 的定点 $N$ ，对于圆 $C$ 上的任意动点 $Q$ ，都有 $\frac{Q N}{Q M}$ 为定值?若存在求出定点 $N$ 的坐标，若不存在说明理由．

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