江苏省扬州市2018-2019学年高一下学期数学期末检测试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）

A、平行 B、异面 C、相交 D、以上皆有可能

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3. 经过点 $P (1, 3)$ ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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4. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C$ 和 $B C_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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5. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y - 1 = k (x + 1)$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、以上皆有可能

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6. 在 $Δ A B C$ 中，三条边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 4, b = 5, c = 6$ ，则三角形的形状（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定

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7. $a, b, c$ 表示直线， $α$ 表示平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $a / / α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a$ ⊥ $b$ ， $b$ ⊥ $α$ ，则 $a$ ⊥ $α$ C、若 $a$ ⊥ $c$ ， $b$ ⊥ $c$ ，则 $a / / b$ D、若 $a$ ⊥ $α$ ， $b$ ⊥ $α$ ，则 $a / / b$

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8. 已知 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 2, A B ⊥ A C$ ，将 $Δ A B C$ 绕 $B C$ 所在直线旋转一周，形成几何体 $K$ ,则几何体 $K$ 的表面积为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $4 \sqrt{2} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2} π}{3}$

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9. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = \frac{π}{4}, a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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10. 若点 $P$ 在圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上运动， $Q (m, - m - 1)$ ，则 $P Q$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 2 ， A C = 1 ， ∠ A$ 的平分线 $A D = 1$ ，则 $Δ A B C$ 的面积（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 在圆 $C ： {(x - 8)}^{2} + y^{2} = 16$ 上运动， $A (6 ， 0) ， B (6 ， 1) ，$ 则 $P B + 2 P A$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{37}$ B、 $6$ C、 $4 + \sqrt{5}$ D、 $\frac{11 + \sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 某学校有教师 $300$ 人，男学生 $1500$ 人，女学生 $1200$ 人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 $150$ 人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为．

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14. 如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物 $C D$ 的高度（建筑物 $C D$ 垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定 $A ， B$ 两点，其距离为100米，然后在 $A$ 处测得 $∠ D A B = 60^{\circ}$ ，在 $B$ 处测得 $∠ D B A = 75^{\circ} ， ∠ D B C = 30^{\circ}$ ，则此建筑物 $C D$ 的高度为米．

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15. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和直线 $l : y = 2$ ， $P (x_{0}, 2)$ 是直线 $l$ 上一点，若圆 $O$ 上存在 $A, B$ 两点，满足 $\overset{⇀}{P A} = \overset{⇀}{A B}$ ，则实数 $x_{0}$ 的取值范围是．

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16. 如图，棱长为1（单位： $c m$ ）的正方体木块经过适当切割，得到几何体 $K$ ，已知几何体 $K$ 由两个底面相同的正四棱锥组成，底面 $A B C D$ 平行于正方体的下底面，且各顶点均在正方体的面上，则几何体 $K$ 体积的取值范围是（单位： $c m^{3}$ ）．

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三、解答题

17. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = C C_{1}$ ，平面 $A_{1} B C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

证明：

(1)、 $A C / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ．

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18. 在平面直角坐标系中，已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A (- 1, 2)$ 和 $C (5, 4)$ ， $A B$ 所在直线的方程为 $x - y + 3 = 0$ .

(1)、求对角线 $B D$ 所在直线的方程；

(2)、求 $A D$ 所在直线的方程.

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2, b = \sqrt{5}, B = 2 A .$

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、求 $c$ 的值.

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20. 某单位开展 “党员在线学习” 活动，统计党员某周周一至周日（共 $7$ 天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况：
党员甲学习得分情况

党员乙学习得分情况

(1)、求本周党员乙周一至周日（共 $7$ 天）学习得分的平均数和方差；

(2)、从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于 $25$ 分的概率；

(3)、根据本周某一天的数据，将全单位 $80$ 名党员的学习得分按照 $[10 ， 15)$ ， $[15 ， 20)$ ， $[20 ， 25)$ ， $[25 ， 30)$ ， $[30 ， 35]$ 进行分组、绘制成频率分布直方图（如图）

已知这一天甲和乙学习得分在 $80$ 名党员中排名分别为第 $30$ 和第 $68$ 名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图．（直接写结果，不需要过程）

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21. 如图，已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴的左右交点分别为 $A ， B$ ，与 $y$ 轴正半轴的交点为 $D$ .

(1)、若直线 $l$ 过点 $(2 ， 4)$ 并且与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $M ， N$ 是圆 $C$ 上第一象限内的点，直线 $A M ， A N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $P ， Q$ ，点 $P$ 是线段 $O Q$ 的中点，直线 $M N / / B D$ ，求直线 $A M$ 的斜率.

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22. 如图，在平面凸四边形 $A B C D$ 中（凸四边形指没有角度数大于 $180^{\circ}$ 的四边形）， $A B = 2 ， B C = 4 ， C D = 5$ .

(1)、若 $∠ B = 120^{\circ}$ ， $\cos D = \frac{1}{5}$ ，求 $A D$ ；

(2)、已知 $A D = 3$ ，记四边形 $A B C D$ 的面积为 $S$ .
① 求 $S$ 的最大值；

② 若对于常数 $λ$ ，不等式 $S \geq λ$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.（直接写结果，不需要过程）

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