湖南省长沙市湘东六校2018-2019学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设U＝{1，2，5，7，9}，A＝{1，2，5}，B＝{2，5，7}，则下列结论中正确的是（）

A、A⊆B B、A∩B＝{2} C、A∪B＝{1，2，5，7，9} D、A∩∁_UB＝{1}

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = 1 + i$ ，则 $\bar{z}$ 的实部与虚部之差为（）

A、1 B、0 C、-2 D、2

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3. $\cos 4260^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（）

A、 $12.25 %$ B、 $16.25 %$ C、 $11.25 %$ D、 $9.25 %$

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5. 已知 $a = \log_{2}^{0.3}, b = \log_{3}^{2}, c = 2^{0.1}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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6. 在空间中，下列命题为真命题的是（）.

A、对于直线 $a ， b ， c$ ，若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ 则 $a / / b$ B、对任意直线 $a$ ，在平面 $α$ 中必存在一条直线b与之垂直 C、若直线 $a$ ，b与平面 $α$ 所成的角相等，则 $a$ ∥b D、若直线 $a$ ，b与平面 $α$ 所成的角互余，则 $a$ ⊥b

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7. 曲线 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{3} x^{2} - 4$ 在点 $(3 ， f (3))$ 处的切线的倾斜角为（）．

A、－135° B、135° C、45° D、 $- 45^{\circ}$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (3, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、10 B、16 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{10}$

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9. 要得到函数y＝sin（2x+ $\frac{π}{9}$ ）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣ $\frac{π}{9}$ ）的图象上所有点（）

A、向左平移 $\frac{5 π}{18}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{5 π}{18}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{5 π}{36}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{5 π}{36}$ 个单位长度

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10. 函数 $f (x) = \frac{sin x}{x} + x^{2} - 2 | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a，b>0)的一条渐近线与抛物线y²=x的一个交点为A，若点A到直线 $x = - \frac{1}{4}$ 的距离大于 $\frac{3}{4}$ ，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）.

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， + \infty)$

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12. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 6$ ，且 $a_{n}_{+ 2} - 2 a_{n}_{+ 1} + a_{n} = 2$ ，若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，（例如 $[1.6] = 1, [- 1.6] = - 2$ ）则 $[\frac{2^{2}}{a_{1}}] + [\frac{3^{2}}{a_{2}}] + \dots + [\frac{2019^{2}}{a_{2018}}]$ ＝（）

A、2018 B、2019 C、2020 D、2021

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二、填空题

13. 已知函数f（x）＝ ${\begin{matrix} \log_{π}^{x}, x > 0 \\ {2.19}^{x}, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (1))$ 的值为

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14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中,公差 $d > 0, a_{1} + a_{6} = 14, a_{2} a_{5} = 40,$ 则数列{a_n}的前9项之和等于

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15. 若直线 $l : x - y + t = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y + 96 = 0$ 相切，则实数 $t$ 的值为

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16. 在四面体 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ， $A B = B C = C A = 3$ ，当四面体 $A B C D$ 的体积最大时，其外接球的表面积为

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三、解答题

17. 新高考 $3 + 3$ 最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这 $6$ 科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生，女生各 $25$ 人进行模拟选科．经统计，选择全文的人数比不选全文的人数少 $10$ 人．
附：，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、估计在男生中，选择全文的概率.

(2)、请完成下面的 $2 \times 2$ 列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明理由；

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $且 s_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = a_{1}, 且 b_{3} 是 a_{2}, a_{12} 的等差中项$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{b_{2}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b (1 - 3 \cos A) = 3 a \cos B$ ,

(1)、求 $\frac{b}{c}$ 的值，

(2)、若a=3, $\cos A = \frac{1}{6}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为AC的中点.

(1)、求证： $A B_{1} / / 面 B C_{1} D$

(2)、若 $A B = B C = B B_{1} ， ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，求 $C C_{1} 与面 B C_{1} D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知动点G(x,y)满足 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 4$

(1)、求动点G的轨迹C的方程；

(2)、过点Q(1,1)作直线L与曲线 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ,且线段 $A B$ 中点恰好为Q.求 $Δ O A B$ 的面积；

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22. 已知 $f (x) = e^{x} \cdot \sin x$

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 的极值.

(2)、证明： $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}} - \ln (x + 1)$ 在 $(\frac{π}{2} ， + \infty)$ 有且仅有一个零点.

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