广西南宁市“4N”高中联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {0 ， 1 ， 2}$ ， $Q = {x | x < 2}$ ，则 $P \cap Q$ =（）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 2}$

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2. 现要完成下列3项抽样调查：
①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.较为合理的抽样方法是（）

A、①简单随机抽样， ②分层抽样， ③系统抽样 B、①简单随机抽样， ②系统抽样， ③分层抽样 C、①系统抽样，②简单随机抽样， ③分层抽样 D、①分层抽样，②系统抽样， ③简单随机抽样

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3. 若角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1, 1)$ ，则（）

A、 $\sin α = 1$ B、 $\tan α = - 1$ C、 $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sin α = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 过点 $(0 ， 1)$ 且与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 垂直的直线方程是（）

A、 $x - 2 y + 2 = 0$ B、 $x - 2 y - 1 = 0$ C、 $2 x + y - 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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5. 若 $\sin α \cdot \cos α < 0$ ，则 $α$ 的终边在（）

A、第一或第二象限 B、第一或第三象限 C、第一或第四象限 D、第二或第四象限

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6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）

A、4 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后得到函数 $g (x) = 2 \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$ 的图象，则下列描述正确的是（）

A、 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 是函数 $g (x) = 2 \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$ 的一个对称中心 B、 $a_{1} = 2 S_{1} + 1 = 2 a_{1} + 1$ 是函数 $g (x) = 2 \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$ 的一条对称轴 C、 $n = 1$ 是函数 $y = g (x)$ 的一个对称中心 D、 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $g (x) = 2 \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$ 的一条对称轴

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9. 圆心为点 $C (4, 7)$ ，并且截直线 $3 x - 4 y + 1 = 0$ 所得的弦长为 $8$ 的圆的方程（）

A、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 7)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 7)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{5 π}{12})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 在直角三角形 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 2 ， B C = 4$ ，点 $P$ 在 $Δ A B C$ 斜边 $B C$ 的中线 $A D$ 上，则 $(\vec{P B} + \vec{P C}) . \vec{A P}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{25}{8}$ B、 $8$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $5$

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二、填空题

13. 已知直线 $l$ 的方程为 $y = - x + 1$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为

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14. 向量a，b的夹角为120°，且 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 等于

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15. 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上随机取一个数x ，则 $\cos x$ 的值在 $(0, \frac{1}{2})$ 之间的概率为;

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16. 侧棱长为 $a$ 的正三棱锥 $P - A B C$ 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．

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三、解答题

17. 已知 $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 为第二象限角．
（Ⅰ）求 $c o s (\frac{π}{2} - 2 α)$ 的值；

（Ⅱ）求 $t a n (2 α + \frac{π}{4})$ 的值．

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18. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (λ, 3), \overset{⇀}{b} = (- 2, 4)$

(1)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求 $λ$ ；

(2)、若 $λ = 4$ ，求向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影.

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19. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 都为正三角形，且 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $F ， F_{1}$ 分别是 $A C ， A_{1} C_{1}$ 的中点.

求证：

(1)、平面 $A B_{1} F_{1} ∥$ 平面 $C_{1} B F$ ；

(2)、平面 $A B_{1} F_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ .

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20. 下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间 $x$ 与每天获得的利润 $y$ （单位：万元）的有关数据．

星期 $x$

星期2

星期3

星期4

星期5

星期6

利润 $y$

2

3

5

6

9

参考公式： ${\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \\ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} \end{array}$

(1)、根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、估计星期日获得的利润为多少万元．

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21. 已知向量 $\vec{m} = (sin x ， - \frac{1}{2})$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} cos x ， cos 2 x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} • \vec{n}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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22. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 $80 %$ ．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组 $[15 ， 25)$ ，第2组 $[25 ， 35)$ ，第3组 $[35 ， 45)$ ，第4组 $[45 ， 55)$ ，第5组 $[55 ， 65)$ ，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)、求出 $a$ 的值；

(2)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.

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星期 $x$	星期2	星期3	星期4	星期5	星期6
利润 $y$	2	3	5	6	9