北京市朝阳区2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 倾斜角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $b = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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3. 已知直线 $l_{1} : y = k x + 1$ ， $l_{2} : y = (k - 2) x$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $k$ 的值是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $0$ 或 $- 1$

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是棱 $A A_{1} ， A B$ 的中点，则异面直线 $E F$ 和 $C_{1} D$ 所成角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l ∥ α, l ⊥ m$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $l ∥ α, l ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $l ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $l ∥ β$ D、若 $l ⊥ α, l ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$

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6. 从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按 $[100 ， 110)$ ， $[110 ， 120)$ ， $[120 ， 130)$ ， $[130 ， 140)$ ， $[140 ， 150]$ 分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在 $[120 ， 130)$ ， $[130 ， 140)$ ， $[140 ， 150)$ 三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在 $[140 ， 150]$ 内的学生中选取的人数应为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图，设A，B两点在河的两岸，某测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50米，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为（）

A、50 $\sqrt{2}$ 米 B、50 $\sqrt{3}$ 米 C、25 $\sqrt{2}$ 米 D、 $\frac{50 \sqrt{6}}{3}$ 米

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $F$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 上的动点．下列说法正确的是（）

A、对任意动点 $F ，$ 在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内不存在与平面 $C B F$ 平行的直线 B、对任意动点 $F ，$ 在平面 $A B C D$ 内存在与平面 $C B F$ 垂直的直线 C、当点 $F$ 从 $A_{1}$ 运动到 $D_{1}$ 的过程中，二面角 $F - B C - A$ 的大小不变 D、当点 $F$ 从 $A_{1}$ 运动到 $D_{1}$ 的过程中，点 $D$ 到平面 $C B F$ 的距离逐渐变大

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9. 2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.

凸多面体	顶点数	棱数	面数
三棱柱	6	9	5
四棱柱	8	12	6
五棱锥	6	10	6
六棱锥	7	12	7

根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x + m (m \neq 0)$ 交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点( $A ， B$ 不重合)，交 $y$ 轴于 $C$ 点. 圆 $M$ 过 $A ， B ， C$ 三点.下列说法正确的是（）
① 圆心 $M$ 在直线 $x = 1$ 上；② $m$ 的取值范围是 $(0 ， 1)$ ；③ 圆 $M$ 半径的最小值为 $1$ ；④ 存在定点 $N$ ，使得圆 $M$ 恒过点 $N$ .

A、①②③ B、①③④ C、②③ D、①④

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二、填空题

11. 某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：

则这30名学生的最高成绩是；由图中数据可得班的平均成绩较高．

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12. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{7}, c = 2, A = 60 °$ ，则 $b =$ ．

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13. 某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是

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14. 已知直线 $x + a y + 6 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 交于 $A, B$ 两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ .

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15. 已知 $α, β$ 是两个不同平面，直线 $l ⊄ α$ ，给出下面三个论断：
① $l // α$ ② $l ⊥ β$ ③ $α ⊥ β$ 以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题.

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16. 已知两条直线 $y = x + 1$ ， $y = k (x - 1)$ 将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 及其内部划分成三个部分，则 $k$ 的取值范围是；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等，则 $k$ 的取值有种可能.

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 的中点， $B C = 3$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $△ B C D$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

（Ⅰ）求 $A B ， A C$ 的长；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）判断 $△ A B C$ 是否为锐角三角形，并说明理由.

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18. 某市从高二年级随机选取1000名学生，统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理六门课程（前3门为理科课程，后3门为文科课程）的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．

科目方案人数		物理	化学	生物	政治	历史	地理
一	220	√	√		√
二	200	√		√		√
三	180	√	√	√
四	175			√		√	√
五	135		√		√		√
六	90				√	√	√

（Ⅰ）在这1000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修政治的概率；

（Ⅱ）在这1000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的概率；

（Ⅲ）利用表中数据估计该市选课偏文（即选修至少两门文科课程）的学生人数多还是偏理（即选修至少两门理科课程）的学生人数多，并说明理由.

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19. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A D E F$ 为正方形，四边形 $A B C D$ 为梯形，且 $A D / / B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C$ ．

（Ⅰ）求证： $A D //$ 平面 $B C E F$ ；

（Ⅱ）求证： $B D ⊥$ 平面 $C D E$ ；

（Ⅲ）在线段 $B D$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $C E //$ 平面 $A M F$ ？若存在，求出 $\frac{B M}{D M}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (- 1, - 1), B (2, - 1), C (m, n)$ 为三个不同的定点.以原点 $O$ 为圆心的圆与线段 $A B, A C, B C$ 都相切.
（Ⅰ）求圆 $O$ 的方程及 $m, n$ 的值；

（Ⅱ）若直线 $l : y = - x + t (t \in R)$ 与圆 $O$ 相交于 $M, N$ 两点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - \frac{1}{2}$ ，求 $t$ 的值；

（Ⅲ）在直线 $A O$ 上是否存在异于 $A$ 的定点 $Q$ ，使得对圆 $O$ 上任意一点 $P$ ，都有 $\frac{| P A |}{| P Q |} = λ (λ$ 为常数 $)$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标及 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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