安徽省滁州市2018-2019学年高二下学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | 2 x - x^{2} < 0}$ ，则 $C_{R} A =$ （）

A、(0，2) B、[0，2] C、 $(- \infty, 0)$ D、 $[2, + \infty)$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x > 0$ ， $2^{x} - x < 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $2^{x} - x > 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $2^{x} - x \geq 0$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $2^{x_{0}} - x_{0} \geq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $2^{x_{0}} - x_{0} > 0$

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3. 若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（）

A、79 B、79.5 C、80 D、81.5

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4. 设抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在抛物线上，则“ $| P F | = 3$ ”是“点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为2”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（）

A、006 B、041 C、176 D、196

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6. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{2} - a_{1}$ ， $a_{3} - a_{1}$ ， $a_{4} + a_{1}$ 成等比数列，则 $a_{5} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 命题 $p$ ：函数 $y = x^{2} - a x + 1$ 在上是增函数. 命题 $q$ ：直线 $x - 2 y - a = 0$ 在 $x$ 轴上的截距大于0. 若 $p \land q$ 为真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 2$ B、 $a \leq 0$ C、 $0 < a < 2$ D、 $0 < a \leq 2$

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8. 在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3}{π}$ C、 $\frac{2}{π}$ D、 $\frac{1}{π}$

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9. 若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数 $10101_{(2)}$ 化为十进制数(注： $10101_{(2)} = 1 \times 2^{0} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{3} + 1 \times 2^{4}$ )，那么处理框①内可填入（）

A、 $S = 2 S + i$ B、 $S = S + i$ C、 $S = S + 2 i - 1$ D、 $S = S + 2 i$

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点，则直线 $A_{1} E$ 与平面 $B_{1} D_{1} F$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，过点 $F$ 与 $x$ 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为 $B$ ，且 $| A F | = 2 | B F | = 5$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x - 1 | ， x \geq 0 \\ 2^{x} ， x < 0 \end{matrix}$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{2} f (x_{2})$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{4})$ C、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{4}]$

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二、填空题

13. 向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 若椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2} + 1} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为.

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15. 已知样本数据为40，42，40，a ， 43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ，则异面直线 $A C$ 与 $P B$ 所成角的余弦值为.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \sin B + \sqrt{3} b \cos A = 0$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 3$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在 $[20 ， 45]$ 内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为 $[20 ， 25)$ ， $[25 ， 30)$ ， $[30 ， 35)$ ， $[35 ， 40)$ ， $[40 ， 45)$ ， $[40 ， 45]$ ）.

(1)、求选取的市民年龄在 $[40 ， 45]$ 内的人数；

(2)、若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在 $[35 ， 40)$ 内的概率.

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19. 商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品 $A$ 按以下单价进行试售，得到如下数据：

(附： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$ .

(1)、求销量 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的线性回归方程.，已知每件商品 $A$ 的成本是10元，为了获得最大利润，商品 $A$ 的单价应定为多少元？(结果保留整数)

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $A D ⊥ B D$ ， $A B = 2 B D$ ，且 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - D$ 为 $\frac{π}{6}$ ，求 $A P$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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21. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0$ 和抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆 $C$ 与抛物线 $E$ 的准线交于 $M$ 、 $N$ 两点， $Δ M N F$ 的面积为 $p$ ，其中 $F$ 是 $E$ 的焦点.

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、不过原点 $O$ 的动直线 $l$ 交该抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，且满足 $O A ⊥ O B$ ，设点 $Q$ 为圆 $C$ 上任意一动点，求当动点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离最大时直线 $l$ 的方程.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 与点 $(- 1, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 过定点 $(0, - \frac{1}{2})$ ，且斜率为 $- \frac{1}{k} (k \neq 0)$ ，若椭圆 $C$ 上存在 $A$ ， $B$ 两点关于直线 $l$ 对称， $O$ 为坐标原点，求 $k$ 的取值范围及 $Δ A O B$ 面积的最大值.

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