广东省海珠区2019年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）

A、出租车车费与出租车行驶的里程 B、商品房销售总价与商品房建筑面积 C、铁块的体积与铁块的质量 D、人的身高与体重

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2. 在某次测量中得到 $A$ 样本数据如下： $43, 50, 45, 55, 60$ ，若 $B$ 样本数据恰好是 $A$ 样本每个数都增加 $5$ 得到，则 $A$ 、 $B$ 两样本的下列数字特征对应相同的是（）

A、众数 B、中位数 C、方差 D、平均数

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3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各 $5$ 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为 $15$ ，乙组数据的平均数为 $16.8$ ，则 $x$ 、 $y$ 的值分别为（）

A、 $5 ， 5$ B、 $2 ， 5$ C、 $8 ， 8$ D、 $5 ， 8$

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4. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）

A、588 B、480 C、450 D、120

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5. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $l$ ， $m$ 是两条不同的直线，且 $l \subset α$ ， $m \subset β$ （）

A、若 $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $l // β$ ，则 $α // β$ D、若 $α // β$ ，则 $l // m$

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6. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ ，若 $b + c = 2 a, 3 sin A = 5 sin B$ ,则角 $C$ =（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 若直线 $x - y + 1 = 0$ 与圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 2$ 有公共点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3, - 1]$ B、 $[- 1, 3]$ C、 $[- 3, 1]$ D、 $(\infty, - 3] \cup [1, + \infty)$

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8. 已知直线 $l : x + a y - 1 = 0 (a \in R)$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 的对称轴.过点 $A (- 4, a)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $2$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $6$

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9. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知所有棱长均为 $2$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 和两点 $A (- m, 0)$ ， $B (m, 0) (m > 0)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 90^{\circ}$ ，则 $m$ 的最大值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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11. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 $4$ ，底面边长为 $2$ ，则该球的表面积等于（）

A、 $\frac{27 π}{4}$ B、 $16 π$ C、 $9 π$ D、 $\frac{81 π}{4}$

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12. 已知点 $A$ , $B$ , $C$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上运动，且 $∠ A B C = 90^{\circ}$ ，若点 $P$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} |$ 的最大值为（）

A、 $9$ B、 $8$ C、 $7$ D、 $6$

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二、填空题

13. 以边长为 $1$ 的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是．

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14. 若直线 $l$ 过点 $(3, 4)$ ，且平行于过点 $M (1, 2)$ 和 $N (- 1, - 5)$ 的直线，则直线 $l$ 的方程为

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15. 如图，⊙O的半径为 $1$ ，六边形 $A B C D E F$ 是⊙O的内接正六边形，从 $A 、 B 、 C 、$ $D 、 E 、 F$ 六点中任意取两点，并连接成线段，则线段的长为 $\sqrt{3}$ 的概率是．

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16. 如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸 $B$ ， $C$ 的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度 $B C$ 等于m．

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17. 某制造商 $3$ 月生产了一批乒乓球，随机抽样 $100$ 个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表
分组
频数
频率
$[39 ， 95 ， 39 ， 97)$
10

$[39 ， 97 ， 39 ， 99)$
20

$[39 ， 99 ， 40 ， 01)$
50

$[40 ， 01 ， 40 ， 03]$
20

合计
100

(1)、请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；

(2)、统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间 $[39.99 ， 40.01)$ 的中点值是 $40.00$ )作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).

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三、解答题

18. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

(1)、列出所有可能的抽取结果；

(2)、求抽取的2所学校均为小学的概率。

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19. 已知圆 $C$ 经过 $M_{1} (- 1, 0)$ ， $M_{2} (3, 0)$ ， $M_{3} (0, 1)$ 三点．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点N $(2, \sqrt{3} - 1)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦AB的长为 $4$ ，求直线 $l$ 的倾斜角．

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20. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ,已知 $\frac{b}{\cos B} = \frac{2 c - a}{\cos A - 2 \cos C}$ .

(1)、求 $\frac{c}{a}$ 的值；

(2)、若 $\cos B = \frac{1}{4}$ ， $b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ ．

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21. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $B_{1} C$ 的中点为 $O$ ，且 $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ．

(1)、证明： $B_{1} C ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A C ⊥ A B_{1}$ ， $∠ C B B_{1} = 60^{o}$ ， $B C = 1$ ，试画出二面角 $A - B C - B_{1}$ 的平面角，并求它的余弦值．

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22. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (\frac{1}{2} ， 0)$ ， $C (2 ， 0)$ ， $D (- \frac{1}{2} ， 0)$ .

(1)、若点 $P$ 是圆 $O$ 上任意一点，求 $\frac{| P A |}{| P D |}$ ；

(2)、过圆 $O$ 上任意一点 $M$ 与点 $B$ 的直线，交圆 $O$ 于另一点 $N$ ，连接 $M C$ ， $N C$ ，求证： $∠ M C B = ∠ N C B$ .

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分组	频数	频率
$[39 ， 95 ， 39 ， 97)$	10
$[39 ， 97 ， 39 ， 99)$	20
$[39 ， 99 ， 40 ， 01)$	50
$[40 ， 01 ， 40 ， 03]$	20
合计	100