福建省泉州市普通高中2019年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z = (m - 2) + (m + 1) i$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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2. $x > 2$ 是 $x^{2} - 2 x > 0$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下面给出了四种类比推理：
①由实数运算中的 $a \cdot b = b \cdot a$ 类比得到向量运算中的 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ ；②由实数运算中的 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 类比得到向量运算中的 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ；③由向量 $a$ 的性质 $| a |^{2} = a^{2}$ 类比得到复数 $z$ 的性质 $| z |^{2} = z^{2}$ ；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；其中结论正确的是（）

A、①② B、③④ C、②③ D、①④

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4. 我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.

由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为（）

A、数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析 B、数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析 C、数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品 D、数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发

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5. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的（）

A、甲辰年 B、乙巳年 C、丙午年 D、丁未年

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6. 某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为 $l_{1} ： y = 0.68 x + \hat{a}$ ，计算其相关系数为 $r_{1}$ ，相关指数为 $R_{1}^{2}$ .经过分析确定点 $F$ 为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为 $l_{2} ： y = \hat{b} x + 0.68$ ，相关系数为 $r_{2}$ ，相关指数为 $R_{2}^{2}$ .以下结论中，不正确的是（）

A、 $r_{1} > 0 ， r_{2} > 0$ B、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$ C、 $\hat{a} = 0.12$ D、 $0 < \hat{b} < 0.68$

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7. 点 $M$ 的极坐标 $(4 ， \frac{π}{6})$ ，它关于极点的对称点的一个极坐标是（）

A、 $(4 ， \frac{π}{3})$ B、 $(4 ， \frac{5 π}{6})$ C、 $(4 ， \frac{7 π}{6})$ D、 $(4 ， \frac{11 π}{6})$

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8. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t + 1 ， \\ y = t - 1 ， \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），则 $l$ 的倾斜角是（）

A、 $0^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $90^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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9. 在极坐标中， $O$ 为极点，曲线 $C$ ： $ρ = 2 \cos θ$ 上两点 $A 、 B$ 对应的极角分别为 $\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}$ ，则 $Δ A O B$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 在同一直角坐标系中，曲线 $y = \sin (x + \frac{π}{4})$ 经过伸缩变换 ${\begin{matrix} x^{'} = \frac{1}{2} x ， \\ y^{'} = 3 y ， \end{matrix}$ 后所得到的曲线（）

A、 $y = \frac{1}{3} \sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $y = \frac{1}{3} \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ C、 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ D、 $y = 3 \cos 2 x$

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11. 参数方程 ${\begin{array}{l} x = \frac{2}{t} ， \\ y = \frac{2}{t} \sqrt{t^{2} + 2} ， \end{array}$ （ $t$ 为参数）所表示的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知点 $P$ 是曲线 $C$ ： ${\begin{matrix} x = 3 + \cos ϕ ， \\ y = 3 + \sin ϕ ， \end{matrix}$ （ $Δ$ 为参数， $0 \leq ϕ \leq π$ ）上一点，点 $Q$ $(- 1 ， 0)$ ，则 $| P Q |$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{10} ， \sqrt{13} + 1]$ B、 $[\sqrt{13} - 1 ， \sqrt{13} + 1]$ C、 $[4 ， 6]$ D、 $[3 \sqrt{2} ， 6]$

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13. 不等式 $| x - 1 | > 4$ 的解集是（）

A、 ${x | x < - 3}$ B、 ${x | x > 5}$ C、 ${x | x > 5$ 或 $x < - 3}$ D、 ${x | - 3 < x < 5}$

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14. 若 $a > b > c, a c < 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a b > 0$ B、 $b c < 0$ C、 $a b > a c$ D、 $b (a - c) > 0$

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15. 已知 $a = 1, b = \sqrt{3} - \sqrt{2}, c = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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16. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， 4 a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、 $4$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $5$ D、 $9$

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17. 若 $x \in (0, 2 π)$ ，则不等式 $| x + \sin x | < | x | + | \sin x |$ 的解集为（）

A、 $(0, π)$ B、 $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ C、 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ D、 $(π, 2 π)$

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18. 若函数 $f (x) = | x - 2 | + | 2 x - 1 | - a x$ 没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq a < \frac{3}{2}$ B、 $- 3 \leq a < 1$ C、 $a \geq \frac{3}{2} 或 a < - 3$ D、 $a \geq 1 或 a < - 3$

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二、填空题

19. 已知 $(a + i) i = - 1 - i$ ，其中 $a$ 为实数， $i$ 为虚数单位，则 $a =$ .

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20. 为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:
甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；

丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.

已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是.

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21. 在极坐标系中，曲线 $C : ρ = 2$ 被直线 $l : ρ \cos θ = 1$ 所截得的弦长为.

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22. 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin θ = 2$ ， $O$ 为极点，点 $A$ 在直线 $l$ 上，线段 $O A$ 上的点 $B$ 满足 $| O A | \cdot | O B | = 8$ ，则点 $B$ 的轨迹的极坐标方程为.

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三、解答题

23. 某部门为了解人们对“延迟退休年龄政策”的支持度，随机调查了 $100$ 人，其中男性 $60$ 人.调查发现持不支持态度的有 $75$ 人，其中男性占 $\frac{8}{15}$ .分析这 $75$ 个持不支持态度的样本的年龄和性别结构，绘制等高条形图如图所示.

(1)、在持不支持态度的人中， $45$ 周岁及以上的男女比例是多少？

(2)、调查数据显示， $25$ 个持支持态度的人中有 $16$ 人年龄在 $45$ 周岁以下.填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，问能否有 $95 %$ 的把握认为年龄是否在 $45$ 周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关.

参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

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24. 函数 $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ $（ x < 0 ），$ 令 $f_{1} (x) = f (x)$ ， $f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x)) n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $f_{2} (x) ， f_{3} (x)$ 并猜想 $f_{n} (x)$ 的表达式（不需要证明）；

(2)、 $g (x) = f_{n} (x)$ 与 $x - 25 y - n = 0$ 相切，求 $n$ 的值．

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25. 旅游业作为一个第三产业，时间性和季节性非常强，每年11月份来临，全国各地就相继进入旅游淡季，很多旅游景区就变得门庭冷落.为改变这种局面，某旅游公司借助一自媒体平台做宣传推广，销售特惠旅游产品.该公司统计了活动刚推出一周内产品的销售数量，用 $x$ 表示活动推出的天数，用 $y$ 表示产品的销售数量（单位：百件），统计数据如下表所示.

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图，根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型函数 $y = e^{\hat{b} x + \hat{a}}$ 的周围.为求出该回归方程，相关人员确定的研究方案是：先用其中5个数据建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.试回答下列问题：

(1)、现令 $t = \ln y$ ，若选取的是 $x = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 这5组数据，已知 $\sum_{i = 1}^{5} t_{i} = 8 \ln 2 + 6 \ln 3$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} t_{i} = 26 \ln 2 + 22 \ln 3$ ，请求出 $t$ 关于 $x$ 的线性回归方程（结果保留一位有效数字）；

(2)、若由回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过 $10$ ，则认为得到的回归方程是可靠的，试问（1）中所得的回归方程是否可靠？
参考公式及数据：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ； $\ln 2 \approx 0.69 ， \ln 3 \approx 1.10$ ； $e^{4} \approx 54 ， \sqrt[5]{e} \approx 1.22$ ．

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26. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .已知 $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $(1 ， 0)$ ， $(0 ， \frac{1}{2})$ .

(1)、求曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、若点 $P$ 在曲线 $C$ 位于第一象限的图象上运动，求四边形 $O A P B$ 的面积的最大值.

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27. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ ： $ρ^{2} = 2 ρ \sin θ + 3$ ，直线 $l$ ： $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) = 2$ .

(1)、求曲线 $C$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P$ 的直角坐标为 $(0, 4)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M 、 N$ 两点，求 ${| P M |}^{2} + {| P N |}^{2}$ 的值．

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28. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{2} \cos θ, \\ y = 1 + \sqrt{2} \sin θ, \end{matrix}$ （ $Δ$ 为参数），过原点的两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别与曲线 $C$ 交于异于原点的 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $∠ P O Q = 90^{\circ}$ ,其中 $l_{1}$ 的倾斜角为 $α ， α \in [0, \frac{π}{4})$ .以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求 $C$ 和 $l_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、求 $| O P | + | O Q |$ 的最大值.

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