甘肃省天水市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-07-22 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 已知 $| a | = 1$ ， $b$ 是2的相反数，则 $a + b$ 的值为（）

A、-3 B、-1 C、-1或-3 D、1或-3

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2. 自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为(（）

A、 $73 \times 10^{﹣ 6}$ B、 $0.73 \times 10^{﹣ 4}$ C、 $7.3 \times 10^{﹣ 4}$ D、 $7.3 \times 10^{﹣ 5}$

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3. 如图所示的圆锥的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一把直尺和一块三角板 $A B C$ (含 $30 °$ 、 $60 °$ 角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 $D$ 和点 $E$ ，另一边与三角板的两直角边分别交于点 $F$ 和点 $A$ ，且 $∠ C E D = 50 °$ ，那么 $∠ B F A$ 的大小为（）

A、 $145 °$ B、 $140 °$ C、 $135 °$ D、 $130 °$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$ B、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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6. 已知 $a + b = \frac{1}{2}$ ，则代数式 $2 a + 2 b ﹣ 3$ 的值是（）

A、2 B、-2 C、-4 D、 $- 3 \frac{1}{2}$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{4}$

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8. 如图，等边 $△ O A B$ 的边长为2，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3} ， 1)$ D、 $(\sqrt{3} ， \sqrt{3})$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $⊙ O$ 经过点 $A$ 、 $C$ 、 $D$ ，与 $B C$ 相交于点 $E$ ，连接 $A C$ 、 $A E$ .若 $∠ D = 80 °$ ，则 $∠ E A C$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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10. 已知点 $P$ 为某个封闭图形边界上一定点，动点 $M$ 从点 $P$ 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 $M$ 的运动时间为 $x$ ，线段 $P M$ 的长度为 $y$ ，表示 $y$ 与 $x$ 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 函数y= $\sqrt{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是；实数2﹣ $\sqrt{3}$ 的倒数是．

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12. 分式方程 $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x} = 0$ 的解是.

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13. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1， $a$ .其中整数 $a$ 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是.

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14. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为.(用百分数表示)

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15. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，若 $M = 4 a + 2 b$ ， $N = a ﹣ b$ .则 $M$ 、 $N$ 的大小关系为 $M$ $N$ .(填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”)

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $⊙ D$ 经过原点 $O$ ，与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $B$ 坐标为 $(0 ， 2 \sqrt{3})$ ， $O C$ 与 $⊙ D$ 交于点 $C$ ， $∠ O C A = 30 °$ ，则圆中阴影部分的面积为.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，点 $E$ 在 $D C$ 上，将矩形 $A B C D$ 沿 $A E$ 折叠，点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上的点 $F$ 处，那么 $\sin ∠ E F C$ 的值为.

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18. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇.

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三、解答题

19.

(1)、计算： ${(- 2)}^{3} + \sqrt{16} - 2 \sin 30^{°} + {(2019 - π)}^{0} + | \sqrt{3} - 4 |$

(2)、先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 的值从不等式组 ${\begin{array}{l} - x \leq 1 \\ 2 x - 1 < 5 \end{array}$ 的整数解中选取.

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20. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

请你根据统计图解答下列问题：

(1)、在这次调查中，一共抽查了名学生.

(2)、请你补全条形统计图.

(3)、扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为度.

(4)、请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？

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21. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于 $A (m ， 4)$ 、 $B (2 ， n)$ 两点，与坐标轴分别交于 $M$ 、 $N$ 两点.

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、根据图象直接写出 $k x + b - \frac{4}{x} > 0$ 中 $x$ 的取值范围；

(3)、求 $△ A O B$ 的面积.

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22. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 $B C$ 的坡度为 $1 ： 1$ ，文化墙 $P M$ 在天桥底部正前方8米处( $P B$ 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ .(参考数据： $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732$ )

(1)、若新坡面坡角为 $α$ ，求坡角 $α$ 度数；

(2)、有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 $P M$ 是否需要拆除？请说明理由.

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23. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售价 $x$ （元/件）之间的函数关系如图所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、求每天的销售利润W（元 $)$ 与销售价 $x$ （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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24. 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.

(1)、求证：PC是⊙O的切线；

(2)、若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，

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25. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)、概念理解：如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ，问四边形 $A B C D$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

(2)、性质探究：如图1，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C ⊥ B D$ .试证明： $A B^{2} + C D^{2} = A D^{2} + B C^{2}$ ；

(3)、解决问题：如图3，分别以 $R t △ A C B$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $A B D E$ ，连结 $C E$ 、 $B G$ 、 $G E$ .已知 $A C = 4$ ， $A B = 5$ ，求 $G E$ 的长.

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