2017年高考理数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2017-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　）

A、{2} B、{1，2，4} C、{1，2，4，5} D、{x∈R|﹣1≤x≤5}

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2. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x \leq 0 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ ，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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3.
阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 设θ∈R，则“|θ﹣ $\frac{π}{12}$ |＜ $\frac{π}{12}$ ”是“sinθ＜ $\frac{1}{2}$ ”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 $\sqrt{2}$ ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4}$ =1

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6. 已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log₂5.1），b=g（2^0.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A、a＜b＜c B、c＜b＜a C、b＜a＜c D、b＜c＜a

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7. 设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ $\frac{5 π}{8}$ ）=2，f（ $\frac{11 π}{8}$ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A、ω= $\frac{2}{3}$ ，φ= $\frac{π}{12}$ B、ω= $\frac{2}{3}$ ，φ=﹣ $\frac{11 π}{12}$ C、ω= $\frac{1}{3}$ ，φ=﹣ $\frac{11 π}{24}$ D、ω= $\frac{1}{3}$ ，φ= $\frac{7 π}{24}$

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8. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} - x + 3 ， x \leq 1 \\ x + \frac{2}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| $\frac{x}{2}$ +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A、[﹣ $\frac{47}{16}$ ，2] B、[﹣ $\frac{47}{16}$ ， $\frac{39}{16}$ ] C、[﹣2 $\sqrt{3}$ ，2] D、[﹣2 $\sqrt{3}$ ， $\frac{39}{16}$ ]

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二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知a∈R，i为虚数单位，若 $\frac{a - i}{2 + i}$ 为实数，则a的值为．

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10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．

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11. 在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ $\frac{π}{6}$ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．

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12. 若a，b∈R，ab＞0，则 $\frac{a^{4} + 4 b^{4} + 1}{a b}$ 的最小值为．

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13. 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 $\vec{B D}$ =2 $\vec{D C}$ ， $\vec{A E}$ =λ $\vec{A C}$ ﹣ $\vec{A B}$ （λ∈R），且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E}$ =﹣4，则λ的值为．

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14. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）

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三、三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= $\frac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ $\frac{π}{4}$ ）的值．

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16. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

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17.
如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{7}}{21}$ ，求线段AH的长．

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18. 已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N⁺），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄﹣2a₁ ， S₁₁=11b₄ ．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_2nb_2n_﹣₁}的前n项和（n∈N⁺）．

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19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．已知A是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 $\frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线AP的方程．

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20. 设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x⁴+3x³﹣3x²﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x₀ ， g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x₀）∪（x₀ ， 2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x₀）﹣f（m），求证：h（m）h（x₀）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 $\frac{p}{q}$ ∈[1，x₀）∪（x₀ ， 2]，满足| $\frac{p}{q}$ ﹣x₀|≥ $\frac{1}{A q^{4}}$ ．

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