2017年高考理数真题试卷（北京卷）

试卷更新日期：2017-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题.（每小题5分）

1. 若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（　　）

A、{x|﹣2＜x＜﹣1} B、{x|﹣2＜x＜3} C、{x|﹣1＜x＜1} D、{x|1＜x＜3}

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2. 若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）

A、（﹣∞，1） B、（﹣∞，﹣1） C、（1，+∞） D、（﹣1，+∞）

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3.
执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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4. 若x，y满足 ${\begin{matrix} x \leq 3 \\ x + y \geq 2 \\ y \leq x \end{matrix}$ ，则x+2y的最大值为（　　）

A、1 B、3 C、5 D、9

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5. 已知函数f（x）=3^x﹣（ $\frac{1}{3}$ ）^x ，则f（x）（　　）

A、是奇函数，且在R上是增函数 B、是偶函数，且在R上是增函数 C、是奇函数，且在R上是减函数 D、是偶函数，且在R上是减函数

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6. 设 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 为非零向量，则“存在负数λ，使得 $\vec{m}$ =λ $\vec{n}$ ”是 $\vec{m}$ • $\vec{n}$ ＜0”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7.
某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（　　）

A、3 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3³⁶¹ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10⁸⁰ ，则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是（　　）
（参考数据：lg3≈0.48）

A、10³³ B、10⁵³ C、10⁷³ D、10⁹³

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二、填空题（每小题5分）

9. 若双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{m}$ =1的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数m= ．

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10. 若等差数列{a_n}和等比数列{b_n}满足a₁=b₁=﹣1，a₄=b₄=8，则 $\frac{a_{2}}{b_{2}}$ = ．

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11. 在极坐标系中，点A在圆ρ²﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．

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12. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= $\frac{1}{3}$ ，则cos（α﹣β）= ．

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13. 能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．

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14.
三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A_i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B_i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
①记Q_i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q₁ ， Q₂ ， Q₃中最大的是．
②记p_i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p₁ ， p₂ ， p₃中最大的是．

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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15. 在△ABC中，∠A=60°，c= $\frac{3}{7}$ a．（13分）

(1)、求sinC的值；

(2)、若a=7，求△ABC的面积．

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16.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= $\sqrt{6}$ ，AB=4．

(1)、求证：M为PB的中点；

(2)、求二面角B﹣PD﹣A的大小；

(3)、求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

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17.
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

(1)、从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

(2)、从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；

(3)、试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）

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18. 已知抛物线C：y²=2px过点P（1，1）．过点（0， $\frac{1}{2}$ ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）

(1)、求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)、求证：A为线段BM的中点．

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19. 已知函数f（x）=e^xcosx﹣x．（13分）

(1)、求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

(2)、求函数f（x）在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值和最小值．

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20. 设{a_n}和{b_n}是两个等差数列，记c_n=max{b₁﹣a₁n，b₂﹣a₂n，…，b_n﹣a_nn}（n=1，2，3，…），其中max{x₁ ， x₂ ， …，x_s}表示x₁ ， x₂ ， …，x_s这s个数中最大的数．（13分）

(1)、若a_n=n，b_n=2n﹣1，求c₁ ， c₂ ， c₃的值，并证明{c_n}是等差数列；

(2)、证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， $\frac{c_{n}}{n}$ ＞M；或者存在正整数m，使得c_m ， c_m₊₁ ， c_m₊₂ ， …是等差数列．

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