2017年高考数学真题试卷（江苏卷）

试卷更新日期：2017-06-09 类型：高考真卷

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一、填空题

1. 已知集合A={1，2}，B={a，a²+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．

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2. 已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．

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3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．

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4.
如图是一个算法流程图：若输入x的值为 $\frac{1}{16}$ ，则输出y的值是．

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5. 若tan（α﹣ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{1}{6}$ ．则tanα= ．

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6.
如图，在圆柱O₁O₂内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O₁O₂的体积为V₁ ，球O的体积为V₂ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值是．

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7. 记函数f（x）= $\sqrt{6 + x - x^{2}}$ 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣y²=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F₁ ， F₂ ，则四边形F₁PF₂Q的面积是．

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9. 等比数列{a_n}的各项均为实数，其前n项为S_n ，已知S₃= $\frac{7}{4}$ ，S₆= $\frac{63}{4}$ ，则a₈= ．

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10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．

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11. 已知函数f（x）=x³﹣2x+e^x﹣ $\frac{1}{e^{x}}$ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a²）≤0．则实数a的取值范围是．

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12.
如图，在同一个平面内，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 的模分别为1，1， $\sqrt{2}$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为α，且tanα=7， $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为45°．若 $\vec{O C}$ =m $\vec{O A}$ +n $\vec{O B}$ （m，n∈R），则m+n= ．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x²+y²=50上．若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ ≤20，则点P的横坐标的取值范围是．

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14. 设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} ， x \in D \\ x ， x \notin D \end{matrix}$ ，其中集合D={x|x= $\frac{n - 1}{n}$ ，n∈N^*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．

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二、解答题

15. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；
（Ⅱ）AD⊥AC．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosx，sinx）， $\vec{b}$ =（3，﹣ $\sqrt{3}$ ），x∈[0，π]．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求x的值；

(2)、记f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

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17.
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F₁作直线PF₁的垂线l₁ ，过点F₂作直线PF₂的垂线l₂ ．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线l₁ ， l₂的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

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18.
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 $\sqrt{7}$ cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E₁G₁的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC₁上，求l没入水中部分的长度；
（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG₁上，求l没入水中部分的长度．

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19. 对于给定的正整数k，若数列{a_n}满足：a_n_﹣k+a_n_﹣k+1+…+a_n_﹣1+a_n+1+…a_n+k_﹣1+a_n+k=2ka_n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a_n}是“P（k）数列”．
（Ⅰ）证明：等差数列{a_n}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）若数列{a_n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a_n}是等差数列．

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20. 已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b²＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ $\frac{7}{2}$ ，求a的取值范围．

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21.
如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；
（Ⅱ）AC²=AP•AB．

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22. 已知矩阵A= $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ ，B= $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ ．
（Ⅰ）求AB；
（Ⅱ）若曲线C₁： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2}$ =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C₂ ，求C₂的方程．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 8 + t \\ y = \frac{t}{2} \end{matrix}$ （t为参数），曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 s^{2} \\ y = 2 \sqrt{2} s \end{matrix}$ （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

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24. 已知a，b，c，d为实数，且a²+b²=4，c²+d²=16，证明ac+bd≤8．

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25.
如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA₁= $\sqrt{3}$ ，∠BAD=120°．
（Ⅰ）求异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角B﹣A₁D﹣A的正弦值．

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26. 已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N^* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ $\frac{n}{(m + n) (n - 1)}$ ．

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