2017年高考理数真题试卷(新课标Ⅱ卷)

试卷更新日期:2017-06-09 类型:高考真卷

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  • 1. 3+i1+i =(    )

    A、1+2i B、1﹣2i C、2+i D、2﹣i
  • 2. 设集合A={1,2,4},B={x|x2﹣4x+m=0}.若A∩B={1},则B=(    )

    A、{1,﹣3} B、{1,0} C、{1,3} D、{1,5}
  • 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(    )

    A、1盏 B、3盏 C、5盏 D、9盏
  • 4.

    如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(    )


    A、90π B、63π C、42π D、36π
  • 5. 设x,y满足约束条件 {2x+3y302x3y+30y+30 ,则z=2x+y的最小值是(    )

    A、﹣15 B、﹣9 C、1 D、9
  • 6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(    )

    A、12种 B、18种 C、24种 D、36种
  • 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(    )

    A、乙可以知道四人的成绩 B、丁可以知道四人的成绩 C、乙、丁可以知道对方的成绩 D、乙、丁可以知道自己的成绩
  • 8.

    执行如图的程序框图,如果输入的a=﹣1,则输出的S=(    )

    A、2 B、3 C、4 D、5
  • 9. 若双曲线C: x2a2y2b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(    )

    A、2 B、3 C、2 D、233
  • 10. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(    )

    A、32 B、155 C、105 D、33
  • 11. 若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,则f(x)的极小值为(    )

    A、﹣1 B、﹣2e﹣3 C、5e﹣3 D、1
  • 12. 已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 PA •( PB + PC )的最小值是(    )

    A、﹣2 B、32 C、43 D、﹣1

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

  • 13. 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=

  • 14. 函数f(x)=sin2x+ 3 cosx﹣ 34 (x∈[0, π2 ])的最大值是

  • 15. 等差数列{an}的前n项和为Sn , a3=3,S4=10,则 k=1n1Sk =

  • 16. 已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=

三、解答题

  • 17. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 B2

    (Ⅰ)求cosB;

    (Ⅱ)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.

  • 18.

    海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图:

    (Ⅰ)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;

    (Ⅱ)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:


    箱产量<50kg        

             箱产量≥50kg

    旧养殖法


             

      新养殖法


              

    (Ⅲ)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).

    附:

    P(K2≥k)  

    0.050

    0.010          

    0.001           

    K

    3.841     

    6.635    

    10.828   

    K2= n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

  • 19.

    如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= 12 AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.

    (Ⅰ)证明:直线CE∥平面PAB;

    (Ⅱ)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.

  • 20. 设O为坐标原点,动点M在椭圆C: x22 +y2=1上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足 NP = 2NM

    (Ⅰ)求点P的轨迹方程;

    (Ⅱ)设点Q在直线x=﹣3上,且 OPPQ =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

  • 21. 已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.

    (Ⅰ)求a;

    (Ⅱ)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0 , 且e﹣2<f(x0)<2﹣2

  • 22. 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.

    (Ⅰ)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|•|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

    (Ⅱ)设点A的极坐标为(2, π3 ),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.

  • 23. 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:

    (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4;

    (Ⅱ)a+b≤2.