浙江省嘉兴市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2019-07-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3, a_{4} = 24$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、32 B、45 C、64 D、96

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3. 已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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4. 已知 $0 < a < b < 1$ ，则下列不等式不成立的是（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ B、 $\ln a > \ln b$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $\frac{1}{\ln a} > \frac{1}{\ln b}$

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5. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x - y \geq 0 \\ x + 2 y + 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = \frac{1}{n (n + 2)}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前10项和 $S_{10}$ 为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{11}{24}$ C、 $\frac{175}{132}$ D、 $\frac{175}{264}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $(a^{2} + c^{2} - b^{2}) \tan B = a c$ ，则角 $B$ 的值（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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8. 等比数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列一定成立的是（）

A、若 $a_{1} > 0$ ,则 $a_{2019} < 0$ B、若 $a_{2} > 0$ ,则 $a_{2018} < 0$ C、若 $a_{1} > 0$ ,则 $S_{2019} > 0$ D、若 $a_{2} > 0$ ,则 $S_{2018} > 0$

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9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = a b - 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、 $5 + 2 \sqrt{6}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、5 D、9

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $B = \frac{π}{4} ， C = \frac{5 π}{12} ， A C = 2 \sqrt{6}$ ， $A C$ 的中点为 $D$ ，若长度为3的线段 $P Q$ （ $P$ 在 $Q$ 的左侧）在直线 $B C$ 上移动，则 $A P + D Q$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30} + 2 \sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{30} + 3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{30} + 4 \sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{30} + 5 \sqrt{10}}{2}$

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二、填空题

11. 计算 $\sin 47^{°} \cos 17^{°} - \cos 47^{°} \sin 17^{°}$ 的结果为．

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12. 倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 且过点 $(\sqrt{3}, 1)$ 的直线方程为．

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13. 若直线 $l_{1} : x + y - 1 = 0$ 与直线 $l {}_{2}: x + a^{2} y + a = 0$ 平行，则实数 $a =$ ．

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14. 已知α为锐角，且 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则sinα= ．

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15. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2} = 4, a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ，n∈N^* ，则 $S_{5} =$ ．

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若不等式 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{m}{2 a + b}$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为．

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17. 在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $∠ A B D = \frac{π}{6}$ ， $A C = 2 A D = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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18. 设 $0 \leq a_{1} \leq a_{2}$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \geq 1)$ ，若 $1 \leq a_{4} \leq 2$ ，则 $a_{5}$ 的取值范围是．

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三、解答题

19. 已知直线 $l_{1} : 2 x + y - 1 = 0$ ， $l {}_{2}: x + a y + a = 0$ ．
（Ⅰ）若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

（Ⅱ）当 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 时，过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且与原点的距离为1的直线 $l$ 的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 2$ .
（Ⅰ）当 $a = 3$ 时，解不等式 $f (x) < 0$ ；

（Ⅱ）当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对应的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin A = \sqrt{3} \sin C$ .
（Ⅰ）若 $B = \frac{π}{4}$ ，求 $\tan A$ 的值；

（Ⅱ）若 $S_{Δ A B C} = b^{2} \tan B$ ，试判断 $Δ A B C$ 的形状.

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22. 已知正项数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n}$ 与1的等差中项等于 $S_{n}$ 与1的等比中项.
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1, b_{n + 1} = \frac{a_{n} + 1}{2 b_{n}}$ ，求证： $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} \dots + \frac{1}{b_{n}} \geq \sqrt{2 a_{n} + 2} - 1$ ．

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