浙江省嘉兴市2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 3, 5, 7}, A = {3, 5}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${1}$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 ${1, 7}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $8$ B、 $12$ C、 $16$ D、 $24$

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4. 已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、α∥β，m ⊂α，n⊂ β，则 $m / / n$ B、 $m / / α, m / / n$ ，则 $n / / α$ C、 $α ⊥ β, m / / n, m ⊥ α$ ，则 $n / / β$ D、 $m ⊥ α, m / / n$ ，则 $n ⊥ α$

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5. 若直线 $l$ 经过点 $(- 1, - 2)$ ，且原点到直线 $l$ 的距离为 $1$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x - 4 y - 5 = 0$ B、 $x = - 1$ C、 $3 x - 4 y - 5 = 0$ 或 $y = - 1$ D、 $3 x - 4 y - 5 = 0$ 或 $x = - 1$

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6. 设 $a, b \in R$ ，则 $a \geq b$ 是 $| a | \geq b$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x - 1} - x^{2}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + x^{2}$ C、 $f (x) = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - x^{2}$ D、 $f (x) = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + x^{2}$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，短轴的一个端点为 $P$ ，直线 $l ： 4 x - 3 y = 0$ 与椭圆相交于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $| A F | + | B F | = 6$ ，点 $P$ 到直线 $l$ 的距离不小于 $\frac{6}{5}$ ，则椭圆离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{9}{5}]$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{5}}{3}]$ D、 $(\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，定点 $M$ 在棱 $A B$ 上(不在端点 $A ， B$ 上)，点 $P$ 是平面 $A B C D$ 内的动点，且点 $P$ 到直线 $A_{1} D_{1}$ 的距离与点 $P$ 到点 $M$ 的距离的平方差为 $a^{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹所在的曲线为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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10. 设 $a = \sqrt{15}$ ， $b = \sqrt[3]{15}$ ， $c = \log_{2} 15$ ，则下列正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、填空题

11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到两个定点 $O (0 ， 0)$ ， $A (3 ， 0)$ 的距离之比为 $\frac{1}{2}$ 的动点 $M$ 轨迹方程是： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$ ”，则该“阿氏圆”的圆心坐标是，半径是．

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12. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{4} = 8$ ，则公比 $q =$ ； $a_{3} =$ ．

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13. 若实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} y \leq x ， \\ x + y \geq 2 ， \\ y \geq 3 x - 6 ， \end{array}$ 则 $2 x + y$ 的最小值是，最大值是．

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14. 函数 $f (x) = \cos^{4} x - \sin^{4} x$ 的最小正周期是，值域是．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - | x + 1 | + 1, x \leq 0, \\ - \frac{1}{2} x, x > 0, \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$ 则 $f (x)$ 的最大值是．

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16. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} + 4 \vec{b} | = 3$ ， $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} | = 2$ ，当 $| \vec{a} - 7 \vec{b} |$ 取最大值时， $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} =$ ．

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17. 已知 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1}$ ，设 $g (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，若存在不相等的实数 $a ， b$ 同时满足方程 $g (a) + g (b) = 0$ 和 $f (a) + f (b) = 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题

18. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} = a^{2} + c^{2} - a c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $\sin A + \sin C$ 的取值范围.

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19. 如图几何体中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E C / / P D$ ，且 $P D = A D = 2 E C = 2$ .

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $P D A$ ；

(2)、求 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的大小.

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20. 已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 2 x$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，点 $n \geq 2$ （ $n \in N^{*}$ ）均在函数 $f (x)$ 的图像上.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求使得 $T_{n} < \frac{m}{20}$ 对所有 $n \in N^{*}$ 都成立的最小正整数 $m$ .

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 与抛物线交于点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $y_{1} y_{2} = - 4$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，试探究：线段 $A B$ 与 $F D$ 的长度能否相等？如果相等，求直线 $l$ 的方程，如果不等，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x + a} + b (a, b \in R 且 a \neq 0)$ .

(1)、判断 $y = f (x)$ 的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；

(2)、设 $g (x) = b (x + 1)$ ，试讨论 $y = f (x) - g (x)$ 的零点个数情况.

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