陕西省西安市蓝田县2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. $18 \times 17 \times 16 \times \dots \times 12 \times 11$ 等于（）

A、 $A_{18}^{8}$ B、 $A_{18}^{9}$ C、 $A_{18}^{10}$ D、 $A_{18}^{11}$

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2. 复数 $z = \frac{2 + 3 i}{i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 用反证法证明“ $\forall x \in R, 2^{x} > 0$ ”时，应假设（）

A、 $\exists x_{0} \in R, 2^{x_{0}} \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \in R, 2^{x_{0}} < 0$ C、 $\forall x \in R, 2^{x} \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R, 2^{x_{0}} > 0$

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4. 在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n}) (n \geq 2, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 不全相等 $)$ 的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 都在直线 $y = 3 x + 1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、3 B、0 C、 $- 1$ D、1

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5. 完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）

A、5种 B、4种 C、9种 D、20种

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6. 下列求导运算的正确是（）

A、 $(\sin a)^{'} = \cos a (a$ 为常数 $)$ B、 $(\sin 2 x)^{'} = 2 \cos 2 x$ C、 $(\cos x)^{'} = \sin x$ D、 $(x^{- 5})^{'} = - \frac{1}{5} x^{- 6}$

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7. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2018, σ^{2}) (σ > 0)$ ，则 $P (ξ < 2018)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{1009}$ B、 $\frac{1}{2018}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（）

A、8种 B、15种 C、3⁵种 D、5³种

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9. 已知具有线性相关关系的两个变量 $x$ ， $y$ 的一组数据如下表：

$x$

2

4

5

6

8

$y$

20

40

60

70

80

根据上表，利用最小二乘法得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 10 .5 x + a$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、1.5 C、2 D、2.5

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10. 盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11. 周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信； ④丙不在看书，也不在写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（）

A、玩游戏 B、写信 C、听音乐 D、看书

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12. 在下面的四个图象中，其中一个图象是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + (a^{2} - 1) x + 1 (a \in R)$ 的导数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，则 $f (- 1)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 设函数 $f (x)$ 可导，若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{3 Δ x} = 1$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

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14. 已知随机变量 $X ~ B (6, \frac{1}{4})$ ，则 $E (X)$ 的值为．

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15. 由曲线 $y = \frac{2}{x}$ 与直线 $y = x - 1$ 及 $x = 1$ 所围成的封闭图形的面积为．

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16. 已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，对任意 $x \in [0 ， + \infty)$ ，均满足： $x f^{'} (x) + 2 f (x) > 0$ .若 $g (x) = x^{2} f (x)$ ，则不等式 $g(2 x) < g(1 - x)$ 的解集是．

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三、解答题

17. 求下列函数的导数：

(1)、 $f (x) = (1 + \sin x) (1 - 4 x)$ ；

(2)、 $f (x) = \frac{x}{x + 1} - 2^{x}$ .

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18. 已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为 $m$ .
（I）求 $m$ 的值；

（II）求 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{\frac{3 m}{4}}$ 的展开式中的常数项.

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19. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x, y$ 都有 $f (x + y) = f (x)+ f (y)+2 x y$ ，且 $f (1) = 1$ .
（I）求 $f (2), f (3), f (4)$ 的值，并猜想 $f (n) (n \in N_{+})$ 的表达式；

（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.

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20. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示，支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：

年龄（岁）	$[15，25)$	$[25，35)$	$[35，45)$	$[45，55)$	$[55，65]$
支持“延迟退休年龄政策”人数	15	5	15	28	17

（I）由以上统计数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表；

	年龄低于45岁的人数	年龄不低于45岁的人数	总计
支持
不支持
总计

（II）通过计算判断是否有 $95 %$ 的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - \ln x - 2 (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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22. 某小组共有10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设 $A$ 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件 $A$ 发生的概率；

（II）设 $X$ 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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$x$	2	4	5	6	8
$y$	20	40	60	70	80