江西省南昌市七校2018-2019学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = ln (1 - 2 x)}$ ， $B = {x | e^{x} 〉 1}$ ，则（）

A、 $A \cup^{} B = {x | x 〉 0}$ B、 $A \cap^{} B = {x | 0 < x < \frac{1}{2}}$ C、 $A \cap^{} C_{R} B = {x | x < \frac{1}{2}}$ D、 $(C_{R} A) \cup^{} B = R$

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2. 已知 $a \in {- 1 ， 2 ， \frac{1}{2} ， 3 ， \frac{1}{3}}$ ，若 $f (x) = x^{a}$ 为奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 1 ， 3$ B、 $\frac{1}{3} ， 3$ C、 $- 1 ， \frac{1}{3} ， 3$ D、 $\frac{1}{3} ， \frac{1}{2} ， 3$

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3. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = cos x$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ D、 $y = ln | x |$

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4. 若 $a = \log_{3} 8$ ， $b = 2^{1.2}$ ， $c = {0.3}^{3.1}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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5. 已知 $a \in R$ ，则“ $a < 2$ ”是“ $a^{2} < 2 a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $y = {log}_{a} (4 - a x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上是单调递减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ，当 $x \in (- 2 ， 0)$ 时， $f (x) = - 2^{x}$ ，则 $f (1) + f (4)$ 等于（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入 $x$ （万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出 $y$ （万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = 0.76, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）

A、11.4万元 B、11.8万元 C、12.0万元 D、12.2万元

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9. 已知定义在 $[1 - a ， 2 a - 5]$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 a - 5]$ 上单调递增，则函数 $f (x)$ 的解析式不可能是（）

A、 $f (x) = x^{2} + a$ B、 $f (x) = \log_{a} (| x | + 2)$ C、 $f (x) = x^{a}$ D、 $f (x) = - a^{| x |}$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 在区间(－∞,0)内单调递增，且 $f (- x) = f (x)$ ，若 $a = f (\log_{\frac{1}{2}} 3), b = f (2^{- 1.2}), c = f (\frac{1}{2})$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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11. 老师给出了一个定义在 $R$ 上的二次函数 $f (x)$ ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：在 $(- \infty ， 0]$ 上函数 $f (x)$ 单调递减；

乙：在 $[0 ， + \infty)$ 上函数 $f (x)$ 单调递增；

丙：函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称；

丁： $f (0)$ 不是函数 $f (x)$ 的最小值．

若该老师说：你们四个同学中恰好有三个人说法正确，那么你认为说法错误的同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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12. 已知 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 1, 3]$ ，存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{17}{2}, + \infty)$ B、 $[- 8, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{x}, x \leq 0 \\ \log_{3} x, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (- 1)] =$ ．

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14. 已知命题 $p : \exists x_{0} \in R$ ， $a x_{0}^{2} + x_{0} + \frac{1}{2} \leq 0$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 函数 $f (x)$ 是周期为 $4$ 的偶函数，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1) - 1$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的解集为

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三、解答题

16. 如图．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD ， O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝ $\frac{π}{3}$ ，则棱锥P－AOB的外接球的体积是

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17. 设函数 $f (x)$ = $| 2 x + 1 | - | x - 4 |$

(1)、求不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集;

(2)、若存在 $x \in R$ 使得 $f (x) \leq m$ 成立,求实数 $m$ 的最小值.

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18. 设函数 $y = lg (- x^{2} + 4 x - 3)$ 的定义域为 $A$ ，函数 $y = \frac{2}{x + 1}$ ， $x \in (0, m)$ 的值域为 $B$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cap^{} B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

	0～2000	2001～5000	5001～8000	8001～10000	$> 10000$
男	1	2	3	6	8
女	0	2	10	6	2

(1)、若采用样本估计总体的方式，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；

(2)、已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的

2 \times 2

列联表，并据此判断是否有

95 %

以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

	积极型	懈怠型	总计
男
女
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$n = a + b + c + d$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

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20. 二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足 $f (- \frac{1}{4} + x) = f (- \frac{1}{4} - x)$ ，且 $f (x) < 2 x$ 解集为 $(- 1 ， \frac{3}{2})$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - m x$ $(m \in R)$ ，若 $g (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 2]$ 上的最小值为 $- 4$ ，求 $m$ 的值.

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21. 如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁ ，侧面ABB₁A₁为菱形，侧面ACC₁A₁为正方形，侧面ABB₁A₁⊥侧面ACC₁A₁ ．

(1)、求证：A₁B⊥平面AB₁C；

(2)、若AB＝2，∠ABB₁＝60°，求三棱锥C₁－COB₁的体积．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + b}$ .

(1)、当 $a = 4$ ， $b = - 2$ 时，求满足 $f (x) = 2^{x}$ 的 $x$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.
①存在 $t \in [- 1 ， 1]$ ，使得不等式 $f (t^{2} - t) < f (2 t^{2} - k)$ 有解，求实数 $k$ 的取值范围；
②若函数 $g (x)$ 满足 $f (x) \cdot [g (x) + 2] = 2^{x} - 2^{- x}$ ，若对任意 $x \in R$ 且 $x \neq 0$ ，不等式 $g (2 x) \geq m \cdot g (x) - 10$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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收入 $x$ （万元）	8.2	8.6	10.0	11.3	11.9
支出 $y$ （万元）	6.2	7.5	8.0	8.5	9.8