江西省南昌市七校2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 对于实数 $a, b, c$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{b}{a}$ D、若 $a > b$ ， $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$

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2. 某学校高三模拟考试中数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (75, 121)$ ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（）人．
参考数据： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ）

A、261 B、341 C、477 D、683

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3. 已知有穷数列 ${a_{n}} (n = 1 ，$ 2，3， $\dots$ ， $6}$ 满足 $a_{n} \in (1 ，$ 2，3， $\dots$ ， $10}$ ，且当 $i \neq j (i ， j = 1 ，$ 2，3， $\dots$ ， $6)$ 时， $a_{i} \neq a_{j} .$ 若 $a_{1} > a_{2} > a_{3}$ ，则符合条件的数列 ${a_{n}}$ 的个数是 $($ $)$

A、 $C_{10}^{3} A_{7}^{3}$ B、 $C_{10}^{3} C_{10}^{3}$ C、 $A_{10}^{3} A_{7}^{3}$ D、 $C_{10}^{6} A_{6}^{3}$

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4. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：

参照附表，得到的正确结论是 $($ $)$

附：由公式算得： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \approx 7.8$

附表：

$P (k^{2} > k_{0})$	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	1.323	2.702	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

A、有

99 %

以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关” B、有

99 %

以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关” C、在犯错误的概率不超过

0.1 %

的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关” D、在犯错误的概率不超过

0.1 %

的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”

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5. 设复数 $x = \frac{2 i}{1 - i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $C_{2019}^{1} x + C_{2019}^{2} x^{2} + C_{2019}^{3} x^{3} + ... + C_{2019}^{2019} x^{2019} =$ （）

A、i B、 $- i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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6. 若随机变量X的分布列：

X

0

1

P

0.2

m

已知随机变量 $Y = a X + b (a ， b \in R)$ 且 $E (Y) = 10$ ， $D (Y) = 4$ ，则a与b的值为（）

A、 $a = 10 ， b = 3$ B、 $a = 3 ， b = 10$ C、 $a = 5 ， b = 6$ D、 $a = 6 ， b = 5$

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7. 某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

x

$1.99$

3

4

$5.1$

$6.12$

y

$1.5$

$4.04$

$7.5$

12

$18.01$

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是 $($ $)$

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $y = l o g_{2} x$ D、 $y = \frac{1}{2} (x^{2} - 1)$

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8. 对任意实数 $x$ ，若不等式 $| x + 1 | - | x - 2 | > k$ 在 $R$ 上恒成立，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 3$ B、 $k < - 3$ C、 $k \leq - 3$ D、

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9. 若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则 $P (B | A) =$ （）．

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{1}{16}$

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10. 某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有（）

A、96 B、36 C、24 D、12

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11. 在体育选修课排球模块基本功 $($ 发球 $)$ 测试中，计分规则如下 $($ 满分为10分 $)$ ：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加 $0.5$ 分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加 $1.5$ 分，以此类推， $\dots$ ，连续七次发球成功加3分 $.$ 假设某同学每次发球成功的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（）

A、 $\frac{2^{6}}{3^{5}}$ B、 $\frac{2^{5}}{3^{5}}$ C、 $\frac{2^{6}}{3^{6}}$ D、 $\frac{2^{5}}{3^{6}}$

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12. 已知n元均值不等式为： $\frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) \geq \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n}}$ ，其中 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 均为正数，已知球的半径为R ，利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为（）

A、 $\frac{64}{81} R^{3}$ B、 $\frac{8}{27} R^{3}$ C、 $\frac{4}{9} R^{3}$ D、 $\frac{1}{3} R^{3}$

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二、填空题

13. 有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用 $ξ$ 表示取到次品的件数，则 $ξ = 1$ 的概率是； $E (ξ) =$ ．

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14. 组合恒等式 $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$ ，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求 ${(1 + x)}^{n + 1}$ 和 $(1 + x) {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中 $x^{m}$ 的系数．前者 ${(1 + x)}^{n + 1}$ 的展开式中 $x^{m}$ 的系数为 $C_{n + 1}^{m}$ ；后者 $(1 + x) {(1 + x)}^{n}$ 的展开式 $(1 + x) (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \dots + C_{n}^{m - 1} x_{}^{m - 1} + C_{n}^{m} x^{m} + \dots + C_{n}^{n} x_{}^{n})$ 中 $x^{m}$ 的系数为 $1 \times C_{n}^{m} + 1 \times C_{n}^{m - 1} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ .因为 ${(1 + x)}^{n + 1} = (1 + x) {(1 + x)}^{n}$ ，则两个展开式中 $x^{m}$ 的系数也相等，即 $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$ ．请用“算两次”的方法化简下列式子： ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} =$ ．

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15. 如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 $2 \times 2 \times 3$ 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为．

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16. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题 $.$ 一位同学受到启发，借助上面两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式： ${(a c + b d)}^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ 的一种“图形证明”．

证明思路：

$(1)$ 图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；

$(2)$ 图1中阴影区域的面积为ac+bd ，图2中，设 $∠ B A D = θ$ ，图2阴影区域的面积可表示为 $($ 用含a ， b ， c ， d ， $θ$ 的式子表示 $)$ ；

$(3)$ 由图中阴影面积相等，即可导出不等式 ${(a c + b d)}^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) .$ 当且仅当a ， b ， c ， d满足条件时，等号成立．

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三、解答题

17. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 $9 ∶ 1$ ．
（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；

（Ⅱ）求展开式中中间项．

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18. 已知 $a, b, c \in R$ ,且 $a + b + c = 1$ .证明：
（Ⅰ） $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$ ；

（Ⅱ） $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$ .

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19. 大型综艺节目，《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的

.

根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关

.

为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表

(1)

所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表

(2)

所示．

（Ⅰ）将表 $(1)$ 补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 $0.025$ 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？

（Ⅱ）现从表 $(2)$ 中成功完成时间在 $[20 ， 30)$ 和 $[30 ， 40]$ 这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．

附参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

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20. 如图1，已知四边形BCDE为直角梯形， $∠ B = 90^{\circ}$ ， $B E / / C D$ ，且 $B E = 2 C D = 2 B C = 2$ ，A为BE的中点 $.$ 将 $△ E D A$ 沿AD折到 $△ P D A$ 位置 $($ 如图 $2)$ ，连结PC ， PB构成一个四棱锥 $P - A B C D$ ．

（Ⅰ）求证 $A D ⊥ P B$ ；

（Ⅱ）若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

①求二面角 $B - P C - D$ 的大小；

②在棱PC上存在点M ，满足 $\vec{P M} = λ \vec{P C} (0 \leq λ \leq 1)$ ，使得直线AM与平面PBC所成的角为 $45^{\circ}$ ，求 $λ$ 的值．

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21. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国

.

根据环保部门对某河流的每年污水排放量

X (

单位：吨

)

的历史统计数据，得到如下频率分布表：

污水量	$[230, 250)$	$[250, 270)$	$[270, 290)$	$[290, 310)$	$[310, 330)$	$[330, 350)$
频率	$0.3$	$0.44$	$0.15$	$0.1$	$0.005$	$0.005$

将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．

（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量 $X \in [270, 310)$ 的概率；

（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 $X \in [230, 270)$ 时，没有影响；当 $X \in [270, 310)$ 时，经济损失为10万元；当 $X \in [310, 350)$ 时，经济损失为60万元 $.$ 为减少损失，现有三种应对方案：

方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费 $3.8$ 万元；

方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；

方案三：不采取措施．

试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．

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22. 在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的500名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．

根据上表数据统计，可知考试成绩落在 $[105 ， 125]$ 之间的频率为 $0.28$ ．

（Ⅰ）求m、n的值；

（Ⅱ）已知本欢质检中的数学测试成绩 $X ～ N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本的平均数， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，若该市有4万考生，试估计数学成绩介于 $110 ～ 120$ 分的人数； $($ 以各组的区间的中点值代表该组的取值 $) ($ Ⅲ $)$ 现按分层抽样的方法从成绩在 $[85 ， 95)$ 以及 $[115 ， 125]$ 之间的学生中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取4人进行试卷分析，记被抽取的4人中成绩在 $[115 ， 125]$ 之间的人数为X ，求X的分布列以及期望 $E (X)$ ．

参考数据：若 $X ～ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

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X	0	1
P	0.2	m

x	$1.99$	3	4	$5.1$	$6.12$
y	$1.5$	$4.04$	$7.5$	12	$18.01$