江西省九江市2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{1 + i}{z - 2} = 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5$

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2. $\int_{0}^{1} (e^{x} - 2 x) d x =$ （）

A、 $e$ B、 $e - 1$ C、 $e - 2$ D、 $2 - e$

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3. 某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用

2 \times 2

列联表，由计算得

K^{2} \approx 7.218

，参照下表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.01	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

得到正确结论是（）

A、有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B、有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关” C、在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关” D、在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”

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4. ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中常数项为（）

A、 $- 160$ B、 $160$ C、 $- 240$ D、 $240$

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5. 函数 $f (x) = (1 - x) e^{x}$ 有（）

A、最大值为1 B、最小值为1 C、最大值为 $e$ D、最小值为 $e$

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6. 设随机变量 $ξ \sim B (3 ， p)$ ，若 $P (ξ \geq 1) = \frac{19}{27}$ ，则 $D ξ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $1$ D、 $2$

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7. 甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖.”乙说：“是甲或丙获奖.”丙说：“是甲获奖.”丁说：“是乙获奖.”四人所说话中只有两位是真话，则获奖的人是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 已知 $a ， b ， c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} ， \frac{c}{b} ， \frac{a}{c}$ 的值（）

A、都大于1 B、都小于1 C、至多有一个不小于1 D、至少有一个不小于1

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9. 学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有（）

A、 $84$ 种 B、 $60$ 种 C、 $42$ 种 D、 $36$ 种

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10. 2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.一名同学随机选择3门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 设 $a = e$ ， $b = \frac{π}{lnπ}$ ， $c = \frac{3}{ln3}$ ，则 $a ， b ， c$ 大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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12. 设 $a = e^{e}$ ， $b = π^{e}$ ， $c = e^{π}$ ，则 $a ， b ， c$ 大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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13. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $\forall x \in R$ ， $f^{'} (x) > f (x)$ 且 $f (1) = e$ ，则不等式 $f (\ln x) > x$ 的解集为（）

A、 $(e ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(0 ， 1)$

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14. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x + 1$ ( $a \in R$ )在 $(0 ， 1]$ 上的最大值为3，则 $a =$ （）

A、 $2$ B、 $e$ C、 $3$ D、 $e^{2}$

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二、填空题

15. 若复数 $(a^{2} - 2 a) + (a^{2} - a - 2) i$ ( $a \in R$ )为纯虚数，则 $a =$ .

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16. 已知某公司生产的一种产品的质量 $X$ (单位：千克)服从正态分布 $N (100 ， 64)$ .现从该产品的生产线上随机抽取 $10000$ 件产品，则其中质量在区间 $(92 ， 100)$ 内的产品估计有件.
附：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9544$ .

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17. 如图，矩形 $A B C D$ 中曲线的方程分别为 $y = \sin x$ ， $y = \cos x$ ，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3} \cos B}{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $a^{2} + c^{2} - a c =$ .

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3} \cos B}{b} = \frac{1}{2}$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $Δ A B C$ 的周长为.

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三、解答题

20. 在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次通过的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且甲乙每次是否通过相互独立.
(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；

(Ⅱ)记 $X$ 为甲乙两人参加体能测试的次数和，求 $X$ 的分布列和期望.

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21. $Δ A B C$ 中，三内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{1}{a} ， \frac{1}{b} ， \frac{1}{c}$ 成等差数列．
(Ⅰ)求证： $\sin^{2} B \leq \sin A \sin C$ ；

(Ⅱ)求角 $B$ 的取值范围．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2^{n - 1} a_{n} + 2^{n}$ ．
(Ⅰ)求 $a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 的值，猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式并用数学归纳法证明；

(Ⅱ)令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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23. 使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付方式，某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润

y

(万元)与每天使用支付宝和微信支付的人数

x

(千人)具有相关关系，并得到最近一周

x ， y

的7组数据如下表，并依此作为决策依据.

周一	周二	周三	周四	周五	周六	周日
13	16	26	22	25	29	30
7	11	15	22	24	27	34

(Ⅰ)作出散点图，判断 $y = a + b x$ 与 $y = c + d e^{x}$ 哪一个适合作为每天净利润的回归方程类型？并求出回归方程( $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 精确到 $0.01$ )；

(Ⅱ)超市为了刺激周一消费，拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动，总奖金7万元.根据市场调查，抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加6千人，7千人，8千人，9千人的概率依次为 $4 k$ ， $3 k$ ， $2 k$ ， $k$ .试决策超市是否有必要开展抽奖活动？

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 3951$ ， $\sum_{i = 1}^{7} y_{i}^{2} = 3340$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 3544$ ， $\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 324$ .

参考公式： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ .

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24. 已知函数 $f (x) = a \ln x - x^{2}$ ( $a \geq 0$ ).
(Ⅰ)当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(Ⅱ)若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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25. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - a x + \frac{3}{2}$ ( $a \in R$ ).
(Ⅰ)若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线过点 $(2 ， 2)$ ，求 $a$ 的值；

(Ⅱ)若 $f (x)$ 恰有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ( $x_{1} < x_{2}$ ).

(ⅰ)求 $a$ 的取值范围；

(ⅱ)求证： $f (x_{2}) < f (x_{1}) < 0$ .

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的普通方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 \cos θ \\ y = 3 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线 $l$ 的参数方程和极坐标方程；

(Ⅱ)设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $| O A | \cdot | O B |$ 的值.

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的普通方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 \cos θ \\ y = 3 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线 $l$ 的参数方程和极坐标方程；

(Ⅱ)设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $\frac{1}{| O A |} + \frac{1}{| O B |}$ 的值.

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28. 设函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 1 |$ .
(Ⅰ)求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(Ⅱ)求证： $f (x) \geq 2$ ，并求等号成立的条件.

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29. 设函数 $f (x) = | 2 x - a | + | x + \frac{2}{a} |$ （ $a > 0$ ）.
(Ⅰ)当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(Ⅱ)求证： $f (x) \geq 2$ ，并求等号成立的条件.

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