江苏省盐城市2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-17 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 2 + a i$ （其中 $i$ 为虚数单位），若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 为实数，则实数 $a$ 的值为．

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2. 已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为 $\frac{1}{2}$ ，则数据2 $x_{1}$ ，2 $x_{2}$ ，2 $x_{3}$ ，2 $x_{4}$ ，2 $x_{5}$ 的方差为．

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3. 某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是．

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4. 若命题“ $\exists x \in [0, 3]$ ，使得 $x^{2} - a x + 3 < 0$ 成立”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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5. 执行如图所示的流程图，则输出 $k$ 的值为．

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \geq 0 ， y \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 3 x + y - 6 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $2 y - 3 x$ 的最大值为．

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7. 若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线围成的三角形面积为 $2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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8. 已知圆： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 的面积为 $π r^{2}$ ，类似的，椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为．

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9. 5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有种．（结果用数值表示）

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10. 已知函数 $y = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，则 $φ$ 的值为．

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11. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项为（结果用数值表示）

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12. 若函数 $f (x) = 3^{x} + a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则函数 $f (x)$ 的值域为．

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13. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (a - 2) x - a \ln x$ ，则“ $a > 0$ ”是“函数 $f (x)$ 有且仅有一个极值点”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

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14. 设 $A, B$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点和上顶点，已知椭圆 $C$ 过点 $P (2, 1)$ ，当线段 $A B$ 长最小时椭圆 $C$ 的离心率为．

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15. 若 $x, y$ 为正实数，则 $\frac{2 x + y}{2 x^{2} + y^{2} + 18}$ 的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + 9 x$ ， $x \in [1 ， 2]$ 的最大值为 $4$ ，则实数 $a$ 的值为．

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二、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为菱形， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ， $O$ 为对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ 且 $P O = 4$

(1)、求异面直线 $P A$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面 $A P C$ 与平面 $P C B$ 所成锐二面角的余弦值．

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18. 设命题 $p ：$ 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} m x^{2}$ 在 $[- 1 ， 0]$ 是减函数；命题 $q ： \forall x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，都有 $| sin x - m | \leq 1$ 成立．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 $200$ 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有 $5$ 只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励 $20$ 元；共两只球都是绿色，则奖励 $10$ 元；若两只球颜色不同，则不奖励．

(1)、求一名顾客在一次摸奖活动中获得 $20$ 元的概率；

(2)、记 $X$ 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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20. 设函数 $f (x) = \cos (2 x + φ)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数， $φ \in$ (0， $π$ )，求 $φ$ 的值；

(2)、若 $φ$ ＝ $\frac{π}{3}$ ， $f (\frac{α}{2})$ ＝ $\frac{1}{3}$ ， $α \in$ (0， $\frac{π}{2}$ )，求 $f (α)$ 的值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，满足 $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = {(\frac{(n + 1) a_{n}}{2})}^{2}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值；

(2)、猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

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22. 设 $f (x) = k x^{2} + \cos x + (2 k - 1) x$ ， $x \in R$ ．

(1)、证明：对任意实数 $k$ ，函数 $f (x)$ 都不是奇函数；

(2)、当 $k = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间．

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23. 如图，一条小河岸边有相距 $8 k m$ 的 $A ， B$ 两个村庄（村庄视为岸边上 $A ， B$ 两点），在小河另一侧有一集镇 $P$ （集镇视为点 $P$ ）， $P$ 到岸边的距离 $P Q$ 为 $2 k m$ ，河宽 $Q H$ 为 $0.05 k m$ ，通过测量可知， $∠ P A B$ 与 $∠ P B A$ 的正切值之比为 $1 ： 3$ ．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥 $M N$ （ $M ， N$ 分别为两岸上的点，且 $M N$ 垂直河岸， $M$ 在 $Q$ 的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知 $A ， B$ 两村的人口数分别是 $1000$ 人、 $500$ 人，假设一年中每人去集镇的次数均为 $m$ 次．设 $∠ P M Q = θ$ ．（小河河岸视为两条平行直线）

(1)、记 $L$ 为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用 $θ$ 表示 $L$ ；

(2)、试确定 $θ$ 的余弦值，使得 $L$ 最小，从而符合建桥要求．

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24. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与椭圆 $C_{2} ： \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < \sqrt{2})$ 的离心率相同．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、过椭圆 $C_{1}$ 的左顶点 $A$ 作直线 $l$ ，交椭圆 $C_{1}$ 于另一点 $B$ ，交椭圆 $C_{2}$ 于 $P ， Q$ 两点（点 $P$ 在 $A ， Q$ 之间）．①求 $Δ O P Q$ 面积的最大值（ $O$ 为坐标原点）；②设 $P Q$ 的中点为 $M$ ，椭圆 $C_{1}$ 的右顶点为 $C$ ，直线 $O M$ 与直线 $B C$ 的交点为 $R$ ，试探究点 $R$ 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．

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25. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} {(x + a)}^{2} + b ln x$ ， $a ， b \in R$

(1)、当 $a = 0$ ， $b = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 与 $x = 2$ 处的切线互相垂直，求 $b$ 的取值范围；

(3)、设 $b = 1$ ，若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}}$ 的取值范围．

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