2017年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ卷）

试卷更新日期：2017-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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2. 设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3.
某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（）

A、月接待游客量逐月增加 B、年接待游客量逐年增加 C、各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D、各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

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4. （x+y）（2x﹣y）⁵的展开式中的x³y³系数为（）

A、﹣80 B、﹣40 C、40 D、80

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5. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ x，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1有公共焦点，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{10}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{5}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1

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6. 设函数f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$ ），则下列结论错误的是（）

A、f（x）的一个周期为﹣2π B、y=f（x）的图象关于直线x= $\frac{8 π}{3}$ 对称 C、f（x+π）的一个零点为x= $\frac{π}{6}$ D、f（x）在（ $\frac{π}{2}$ ，π）单调递减

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7.
执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A、π B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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9. 等差数列{a_n}的首项为1，公差不为0．若a₂ ， a₃ ， a₆成等比数列，则{a_n}前6项的和为（）

A、﹣24 B、﹣3 C、3 D、8

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10. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁ ， A₂ ，且以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 已知函数f（x）=x²﹣2x+a（e^x^﹣1+e^﹣x⁺¹）有唯一零点，则a=（　　）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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12. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 $\vec{A P}$ =λ $\vec{A B}$ +μ $\vec{A D}$ ，则λ+μ的最大值为（）

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=3x﹣4y的最小值为

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14. 设等比数列{a_n}满足a₁+a₂=﹣1，a₁﹣a₃=﹣3，则a₄=

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15. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} x + 1 ， x \leq 0 \\ 2^{x} ， x > 0 \end{matrix}$ ，则满足f（x）+f（x﹣ $\frac{1}{2}$ ）＞1的x的取值范围是．

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16. a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是（填写所有正确结论的编号）

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ $\sqrt{3}$ cosA=0，a=2 $\sqrt{7}$ ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

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18. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

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19.
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

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20. 已知抛物线C：y²=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

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21. 已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；
（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ $\frac{1}{2}$ ）（1+ $\frac{1}{2^{2}}$ ）…（1+ $\frac{1}{2^{n}}$ ）＜m，求m的最小值．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = k t \end{matrix}$ ，（t为参数），直线l₂的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + m \\ y = \frac{m}{k} \end{matrix}$ ，（m为参数）．设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）写出C的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l₃：ρ（cosθ+sinθ）﹣ $\sqrt{2}$ =0，M为l₃与C的交点，求M的极径．

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23. 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．

（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≥x²﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

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最高气温	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天数	2	16	36	25	7	4