湖北省荆门市2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2}{1 - i}$ ( $i$ 为虚数单位)的共轭复数是（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 - i$

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2. “ $m > 1$ ”是“方程 $(2) b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 2} = 4 n (n + 2)$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 对任意非零实数 $a ， b$ ，若 $a$ ※ $b$ 的运算原理如图所示，则 $(\log_{\sqrt{2}} 2 \sqrt{2})$ ※ ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}}$ =（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 下列选项错误的是（）

A、“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的充分不必要条件. B、命题 “若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ”的逆否命题是“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ” C、若命题“ $p : \forall x \in R, x^{2} + x + 1 \neq 0$ ”，则“ $\neg p : \exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} + x_{0} + 1 = 0$ ”. D、若“ $p \lor q$ ”为真命题，则 $p, q$ 均为真命题.

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5. 观察下列各式： $7^{1} = 7 ， 7^{2} = 49 ， 7^{3} = 343 ， 7^{4} = 2401, 7^{5} = 16807, \dots$ ，则 $7^{2019}$ 的末尾两位数字为（）

A、49 B、43 C、07 D、01

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6. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x f^{'} (1) + \ln x$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $- e$ B、 $e$ C、2 D、-2

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7. 抛物线y²=4x的焦点为F ，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为（）

A、4 B、5 C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $5 + \sqrt{5}$

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8. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线 $C$ 为正态分布 $N (- 1 ， 1)$ 的密度曲线)的点的个数的估计值为（）
附：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ .

A、1193 B、1359 C、2718 D、3413

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $M$ ， $N$ 是双曲线上关于原点对称的两点， $P$ 是双曲线上的动点，直线 $P M$ ， $P N$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} (k_{1} \cdot k_{2} \neq 0)$ ，若 $y^{'} = 2 a x + a + 2$ 的最小值为2，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为 $P_{1} = 0.3$ ；同时，有 $n$ 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M的概率都是 $0.1$ .现在李某单独研究项目M ，且这 $n$ 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个 $n$ 人团队解决项目M的概率为 $P_{2}$ ，若 $P_{2} \geq P_{1}$ ，则 $n$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $Δ F_{1} A B$ 的内切圆半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$

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12. 已知方程 $e^{m x} = x^{2}$ 在 $(0 ， 16]$ 上有两个不等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{8} ， \frac{\ln 2}{2})$ B、 $[\frac{1}{16} ， \frac{\ln 2}{2})$ C、 $[\frac{\ln 2}{2} ， \frac{2}{e})$ D、 $[\frac{1}{8} ， \frac{2}{e})$

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二、填空题

13. 已知焦点在 $x$ 轴上的双曲线的渐近线方程为 $3 x \pm 4 y = 0$ ，则双曲线的离心率为.

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14. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为.

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15. 在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于.

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16. 关于曲线C： $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 1$ ，给出下列五个命题：
①曲线C关于直线y=x对称；②曲线C关于点 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{4})$ 对称；③曲线C上的点到原点距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ；④当 $x \neq 0 且 x \neq 1$ 时，曲线C上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 $\frac{1}{6}$ .上述命题中，为真命题的是.（将所有真命题的编号填在横线上）

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x \ln x$
（I）求 $f (x)$ 在 $x = e$ （ $e$ 为自然对数的底数）处的切线方程.

（II）求 $f (x)$ 的最小值.

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18. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 与直线 $l : x = t y + 2$ 相交于A、B两点，点O是坐标原点.
（Ⅰ）求证： $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ；
（Ⅱ）当△OAB的面积等于 $2 \sqrt{10}$ 时，求t的值.

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19. 如图，在四棱锥S-ABCD中， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面ABCD为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ，且 $S A = A B = B C = 2 ， A D = 1$

（Ⅰ）求 $S D$ 与平面 $S A C$ 所成角的正弦值.

（Ⅱ）若E为SB的中点，在平面 $S A D$ 内存在点N ，使得 $E N ⊥$ 平面 $S A C$ ，求N到直线AD ， SA的距离.

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20. 大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的部分数据如表所示：已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢盲拧的概率为

\frac{3}{5}

．

	喜欢盲拧	不喜欢盲拧	总计
男		10
女	20
总计			100

表（1）

并邀请这100人中的喜欢盲拧的人参加盲拧三阶魔方比赛，其完成时间的频率分布如表所示：

完成时间（分钟）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40]
频率	0.2	0.4	0.3	0.1

表（2）

（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？

（Ⅱ）现从表（2）中完成时间在[30，40] 内的人中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，记完成时间在[30，40]内的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到为事件A ，求事件A发生的概率．

（参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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21. 设圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ 的圆心为A ，直线 $l$ 过点B（1，0）且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆A于C ， D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（Ⅰ）证明： $| E A | + | E B |$ 为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C₁ ，直线 $l$ 交C₁于M ， N两点，过B且与 $l$ 垂直的直线与C₁交于P ， Q两点，求证： $\frac{1}{| M N |} + \frac{1}{| P Q |}$ 是定值，并求出该定值.

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22. 设 $f (x) = \ln x + \frac{a - 1}{x} ， g (x) = a x - 4.$
（Ⅰ）求 $φ (x) = f (x) + g (x)$ 的单调区间.

（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，记 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ ，是否存在整数 $λ$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $2 λ \geq h (x)$ 有解？若存在求出 $λ$ 的最小值，若不存在，说明理由.

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