广西壮族自治区南宁市2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {0, 1, 2}$ ， $Q = {x | x < 2}$ ，则 $P \cap Q$ =（）

A、 ${0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 2}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $(2 + i) i =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 空气质量指数

A Q I

是一种反映和评价空气质量的方法，

A Q I

指数与空气质量对应如下表所示：

$A Q I$	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	300以上
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

如图是某城市2018年12月全月的指 $A Q I$ 数变化统计图．

根据统计图判断，下列结论正确的是（）

A、整体上看，这个月的空气质量越来越差 B、整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C、从

A Q I

数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D、从

A Q I

数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值

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4. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{2} = 3$ ， $4 a_{3}^{2} = a_{1} a_{7}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、12 D、24

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5. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 2 x \\ x + 2 y - 2 \leq 0 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $z = x - y$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、5 D、6

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6. 《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 函数 $f (x) = x^{3} + x$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $4 x - y + 2 = 0$ B、 $4 x - y - 2 = 0$ C、 $4 x + y + 2 = 0$ D、 $4 x + y - 2 = 0$

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8. 根据如图所示的程序框图，当输入的 $x$ 值为3时，输出的 $y$ 值等于（）

A、1 B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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9. 下列三个数： $a = \ln \frac{2}{3}$ ， $b = - \log_{3} \frac{3}{2}$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ，大小顺序正确的是（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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10. 在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面 $α$ 内有不共线的三点到平面 $β$ 的距离相等，则 $α / / β$ ；④过平面 $α$ 的一条斜线，有且只有一个平面与平面 $α$ 垂直.其中正确的是（）

A、①③ B、②④ C、①④ D、②③

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11. 如图，已知函数 $f (x)$ 的图象关于坐标原点对称，则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = x^{2} \ln | x |$ B、 $f (x) = x \ln x$ C、 $f (x) = \frac{\ln | x |}{x}$ D、 $f (x) = \frac{e^{| x |}}{x}$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $\overset{⇀}{F P} + 3 \overset{⇀}{F Q} = \overset{⇀}{0}$ ，则 $Δ O P Q$ 的面积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (4, 2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的值是；

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 7, a_{5} = 13, S_{7} =$ ；

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15. 若角 $α$ 满足 $\sin α + 2 \cos α = 0$ ，则 $\tan 2 α$ ＝；

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16. 双曲线 $M$ 的焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，若双曲线 $M$ 上存在点 $P$ ，使 $Δ P F_{1} F_{2}$ 是有一个内角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则 $M$ 的离心率是；

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 三个内角A,B,C对应的三条边长分别是 $a, b, c$ ，且满足 $c \sin A = \sqrt{3} a \cos C$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = \sqrt{7}$ ，求 $a$ ．

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18. 手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：

女性用户	分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
女性用户	频数	20	40	80	50	10
男性用户	分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
男性用户	频数	45	75	90	60	30

参考附表：

$P (K^{2} \geq k)$	$0.100$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

参考公式 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

(1)、完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；

(2)、把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，完成下列列联表，并判断能否有

90 %

的把握认为“评分良好用户”与性别有关？

	女性用户	男性用户	合计
“认可”手机
“不认可”手机
合计

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19. 如图所示，已知ABCD是直角梯形， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D / / B C ， A D = 2 ， A B = B C = 1 ， P A ⊥ 平面 A B C D$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ C D$ ；

(2)、若 $P A = 3$ ，求三棱锥 $B - P C D$ 的体积．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $Q (2 ， \sqrt{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 4$ ，求 $Δ A O B$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最大值及此时直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (a + 1) x^{2} + 4 a x + 2 ， (a$ 为实数）．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) > - (a + 1) x^{2} + 2 x \ln x + 2$ 在 $[1 ， e]$ 上恒成立，求 $a$ 的范围；

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 t ， \\ y = - 2 t \end{array} (t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} + 2 ρ \cos θ + 4 ρ \sin θ + 4 = 0$ .

(1)、求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $M$ 是曲线 $C$ 上任一点，求点 $M$ 到直线 $l$ 距离的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - a |$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < 5$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 的解集为 $R$ ，求 $a$ 的取值范围．

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