河南省郑州市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\vec{A B} + \vec{B D} - \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C D}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{D B}$

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2. $\sin 140 ° \cos 10 ° + \cos 40 ° \sin 350 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）

A、不全相等 B、均不相等 C、都相等，且为 $\frac{6}{163}$ D、都相等，且为 $\frac{1}{27}$

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4. 第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州举行．如下图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）

A、甲的平均数大于乙的平均数 B、甲的中位数大于乙的中位数 C、甲的方差大于乙的方差 D、甲的极差小于乙的极差

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5. 要得到函数 $y = 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \sin 2 x - \sqrt{3}$ 的图象，只需将函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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6. 如图给出的是计算 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{102}$ 的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）

A、 $i > 102$ B、 $i \leq 102$ C、 $i > 100$ D、 $i \leq 100$

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7. 如图所示，在 $Δ A B C$ 内随机选取一点 $P$ ，则 $Δ P B C$ 的面积不超过四边形 $A B P C$ 面积的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 若 $\sin (\frac{π}{6} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{2 π}{3} + 2 α) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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9. 已知边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $E$ 满足 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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10. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\cos α = \frac{1}{7}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{11}{14}$ ，则 $β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 满足 $\vec{B E} = 2 \vec{E C} ， \vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ， $E F$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ，设 $\vec{A G} = λ \vec{G C}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{9}{7}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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12. 设 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x$ ， $a b \neq 0$ ，若 $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ 对任意 $x \in R$ 成立，则下列命题中正确的命题个数是（）
⑴ $f (\frac{11 π}{12}) = 0$ ；⑵ $| f (\frac{7 π}{10}) | < | f (\frac{π}{5}) |$ ；⑶ $f (x)$ 不具有奇偶性（4） $f (x)$ 的单调增区间是 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ （5）可能存在经过点 $(a ， b)$ 的直线与函数的图象不相交

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，若 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | =$

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $\tan A + \tan B + \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan A \cdot \tan B$ ，则 $C$ 等于．

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15. 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是．

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16. 如图在 $Δ A B C$ 中，已知 $| A B | = | A C | = 1$ ， $∠ A = 120 °$ ， $E ， F$ 分别是边 $A B ， A C$ 上的点，且 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，其中 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，且 $λ + 4 μ = 1$ ，若线段 $E F ， B C$ 的中点分别为 $M ， N$ ，则 $| \vec{M N} |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， - 1)$
（I）若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $x$ ；

（Ⅱ）若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所成夹角的余弦值．

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18. 如图所示，在平面直角坐标系中，角 $α$ 与 $β$ ( $0 < β < α < π$ )的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于 $P 、 Q$ 两点，点 $P$ 的横坐标为 $- \frac{4}{5}$ ．

（I）求 $\frac{\sin 2 α + \cos 2 α}{1 + \cos^{2} α}$ ；

（Ⅱ）若 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $\sin β$ ．

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19. 2019年5月5日6时许，桂林市雁山区一出租房发生一起重大火灾，事故发生后，附近消防员及时赶到，控制住火情，将灾难损失降到了最低．某保险公司统计的数据表明：居民住宅区到最近消防站的距离

x

(单位：千米)和火灾所造成的损失数额

y

(单位：千元)有如下的统计资料：

距消防站距离 $x$ （千米）	1.8	2.6	3.1	4.3	5.5	6.1
火灾损失费用 $y$ （千元）	17.8	19.6	27.5	31.3	36.0	43.2

如果统计资料表明 $y$ 与 $x$ 有线性相关关系，试求(解答过程中，各种数据都精确到0.01)

（I）相关系数 $r$ ；

（Ⅱ）线性回归方程；

（Ⅲ）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失．

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 764.36$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 80.30$ $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 14.30$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (y_{i} - \bar{y})^{2} \approx 471.65$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{6} (y_{i} - \bar{y})^{2}} \approx 82.13$

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$

回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{a} + \overset{\land}{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示：

（I）求 $f (x)$ 的解析式及对称中心坐标；

（Ⅱ）将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{7 π}{6}]$ 上的单调区间及最值．

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21. 近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中 $a = 4 b$ ．

（I）求 $a ， b$ 的值；

（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；

（Ⅲ）若按照分层抽样从 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ 中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在 $[50 ， 60)$ 的概率．

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22. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \cos ω x ， \cos (ω x)$ ， $\vec{b} = (\sin ω x ， - \cos ω x) ， ω > 0$ 且函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 的两个对称中心之间的最小距离为 $\frac{π}{2}$ ．
（I）求 $f (x)$ 的解析式及 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

（Ⅱ）若函数 $g (x) = a + 1 - \sqrt{2} f (\frac{x}{2})$ 在 $x \in [0 ， π]$ 上恰有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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