河南省2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-07-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的绝对值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、﹣2

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2. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）

A、 $46 \times 10^{- 7}$ B、 $4.6 \times 10^{- 7}$ C、 $4.6 \times 10^{- 6}$ D、 $0.46 \times 10^{- 5}$

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3. 如图， $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 75^{°}$ ， $∠ E = 27^{°}$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $45^{°}$ B、 $48^{°}$ C、 $50^{°}$ D、 $58^{°}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a +3 a =6 a$ B、 ${(- 3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ C、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$ D、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

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5. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）

A、主视图相同 B、左视图相同 C、俯视图相同 D、三种视图都不相同

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6. 一元二次方程 $(x + 1) (x - 1) = 2 x + 3$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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7. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）

A、1.95元 B、2.15元 C、2.25元 D、2.75元

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8. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + 4$ 经过 $(- 2, n)$ 和 $(4, n)$ 两点，则n的值为（）

A、﹣2 B、﹣4 C、2 D、4

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9. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90^{°}$ ， $A D = 4$ ， $B C = 3$ .分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、3 D、 $\sqrt{10}$

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10. 如图，在 $Δ O A B$ 中，顶点 $O (0，0)$ ， $A (- 3，4)$ ， $B (3，4)$ ，将 $Δ O A B$ 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转 $90^{°}$ ，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）

A、 $(10，3)$ B、 $(- 3，10)$ C、 $(10， - 3)$ ） D、 $(3， - 10)$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{4} - 2^{- 1} =$ ＝.

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x}{2} ⩽ - 1 \\ - x + 7 > 4 \end{array}$ 的解集是.

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13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是.

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14. 如图，在扇形AOB中， $∠ A O B = 120^{°}$ ，半径OC交弦AB于点D，且 $O C ⊥ O A$ .若 $O A = 2 \sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积为.

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15. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = a$ ，点E在边BC上，且 $B E = \frac{3}{5} α$ .连接AE，将 $Δ A B E$ 沿AE折叠，若点B的对应点 $B^{'}$ 落在矩形ABCD的边上，则a的值为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(\frac{x + 1}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ .

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17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $∠ A B C = 90^{°}$ ，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是 $\overset{⌢}{B D}$ 上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.

(1)、求证： $Δ A D F ≅ Δ B D G$ ；

(2)、填空：
①若 $A B =4$ ，且点E是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，则DF的长为；

②取 $\overset{⌢}{A E}$ 的中点H，当 $∠ E A B$ 的度数为时，四边形OBEH为菱形.

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18. 某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析.部分信息如下：
a.七年级成绩频数分布直方图：

b.七年级成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79

c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

年级

平均数

中位数

七

76.9

m

八

79.2

79.5

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人；

(2)、表中m的值为；

(3)、在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

(4)、该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.

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19. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.（精确到1m.参考数据： $\sin 34^{°} \approx 0.56$ ， $\cos 34^{°} = 0.83$ ， $\tan 34^{°} \approx 0.67$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.

(1)、求A，B两种奖品的单价；

(2)、学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 $\frac{1}{3}$ .请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

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21. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

(1)、建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得 $x y =4$ ，即 $y = \frac{4}{x}$ ；由周长为m，得 $2(x + y)= m$ ，即 $y = - x + \frac{m}{2}$ .满足要求的 $(x ， y)$ 应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.

(2)、画出函数图象
函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象如图所示，而函数 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象可由直线 $y = - x$ 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线 $y = - x$ .

(3)、平移直线 $y = - x$ ，观察函数图象
①当直线平移到与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点 $(2，2)$ 时，周长m的值为；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.

(4)、得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.

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22. 在 $Δ A B C$ ， $C A = C B$ ， $∠ A C B = α$ .点P是平面内不与点A，C重合的任意一点.连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.

(1)、观察猜想
如图1，当 $α = 60^{°}$ 时， $\frac{B D}{C P}$ 的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.

(2)、类比探究
如图2，当 $α = 90^{°}$ 时，请写出 $\frac{B D}{C P}$ 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由.

(3)、解决问题
当 $α = 90^{°}$ 时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 $\frac{A D}{C P}$ 的值.

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{1}{2} x + c$ 交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2$ 经过点A，C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m.
①当 $Δ P C M$ 是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点 $B^{'}$ ，则平面内存在直线l，使点M，B， $B^{'}$ 到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线 $l ： y = k x + b$ 的解析式.（k，b可用含m的式子表示）

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年级	平均数	中位数
七	76.9	m
八	79.2	79.5