江西省景德镇市2019届高三理数第二次质检试卷

试卷更新日期：2019-07-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{(x - 1) (5 - x)}, x \in Z}$ ，则集合 $A$ 中元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 若 $1 + a i = (b + i) (1 + i)$ （ $a, b \in R$ ， $i$ 为虚数单位），则复数 $a - b i$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件

A

，用随机模拟的方法估计事件

A

发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232	321	230	023	123	021	132	220	001
231	130	133	231	031	320	122	103	233

由此可以估计事件 $A$ 发生的概率为（）

A、

\frac{1}{9}

B、

\frac{2}{9}

C、

\frac{5}{18}

D、

\frac{7}{18}

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 5 x + 4 & (x < 0) \\ 2^{x} & (x \geq 0) \end{matrix}$ ，若角 $α$ 的终边经过 $P (4, - 3)$ ，则 $f [f (sin α)]$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 10 \\ x + 3 y \leq 5 \\ 3 x + 2 y \geq 8 \end{matrix}$ ，若 $z = a x - y$ $(a > 0)$ 的最小值为9，则实数 $a$ 的值等于（）

A、3 B、5 C、8 D、9

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6. 若直线 $l : a x - b y + 2 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）过点 $(- 1, 2)$ ，当 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 取最小值时直线 $l$ 的斜率为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、4

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8. 已知正四面体 $A - B C D$ 的内切球的表面积为 $36 π$ ，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 $A - B C D$ ，则所得截面的面积为（）

A、 $27 \sqrt{2}$ B、 $27 \sqrt{3}$ C、 $54 \sqrt{2}$ D、 $54 \sqrt{3}$

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9. 已知 $f (x) = 2 sin (ω x + φ)$ 同时满足下列三个条件：
① $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 4$ 时， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ② $y = f (x + \frac{π}{3})$ 是偶函数：③ $f (0) > f (\frac{π}{6})$ 若 $f (x)$ 在 $[0 ， t)$ 有最小值，则实数 $t$ 的取值范围可以是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{6}]$ B、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ C、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $(\frac{π}{3} ； \frac{π}{2}]$

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10. 已知点 $P$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 上， $F_{1}$ ， $F$ 分别为双曲线 $C$ 的左右焦点 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，若 $Δ P F_{1} F_{2}$ 外接圆面积与其内切圆面积之比为 $25 : 4$ .则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{3}$ D、2或3

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11. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足，对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f^{'} (x) < f^{'} (- x)$ ，非零实数 $a$ ， $b$ 满足 $f (a) - f (b) > f (- b) - f (- a)$ ，则下列关系式中正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a < b$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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12. 已知 $⊙ C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ ， $O$ 为坐标原点， $O T$ 为 $⊙ C$ 的一条切线，点 $P$ 为 $⊙ C$ 上一点且满足 $\overset{⇀}{O P} = λ \overset{⇀}{O T} + μ \overset{⇀}{O C}$ （其中 $λ \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $μ \in R$ ），若关于 $λ$ , $μ$ 的方程 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{C T} = t$ 存在两组不同的解，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{3} - 2, 0)$ B、 $(\sqrt{3} - 2, 0)$ C、 $[\sqrt{3} - 3, 0)$ D、 $(\sqrt{3} - 3, 0)$

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二、填空题

13. 已知 ${(x^{2} - \frac{3}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为.

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14. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $30^{°}$ ， $\vec{c} = m \vec{a} + (1 - m) \vec{b}$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，则 $m =$ .

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15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 $m = 2 sin 18^{°}$ .若 $m^{2} + n = 4$ ，则 $\frac{m + \sqrt{n}}{sin 63 °} =$ .

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16. 函数 $f (x) = (x^{3} - 3 a^{2} x + 2 a) \cdot (e^{x} - 1)$ 的图像经过四个象限，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知首项为1的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3}$ 为 $a_{4}$ 与 $a_{5}$ 的等差中项.数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{\frac{s_{n} + n}{2 n}}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = C D = A D = \frac{1}{2} A B = 1$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B / / C D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A B$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P D C$ 夹角的余弦值，

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19. 如图甲是某商店2018年（按360天计算）的日盈利额（单位：万元）的统计图.

参考公式及数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1200$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ .

(1)、请计算出该商店2018年日盈利额的平均值（精确到0.1，单位：万元）：

(2)、为了刺激消费者，该商店于2019年1月举行有奖促销活动，顾客凡购买一定金额的高品后均可参加抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店对前5天抽奖活动的人数进行统计如下表：（ $y$ 表示第 $x$ 天参加抽奖活动的人数）

$x$

1

2

3

4

5

$y$

50

60

70

80

100

经过进一步统计分析，发现 $y$ 与 $x$ 具有线性相关关系.

（ⅰ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ：

（ⅱ）该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙），其中转盘是个八等分的圆.每位顾客最多两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会.抽到一等奖的奖品价值128元，抽到二等奖的奖品价值32元.若该商店此次抽奖活动持续7天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到0.1，单位：万元）？

(3)、用（1）中的2018年日盈利额的平均值去估计当月（共31天）每天的日盈利额.若商店每天的固定支出约为1000元，促销活动日的日盈利额比平常增加20%，则该商店当月的纯利润约为多少万元？（精确到0.1，纯利润=盈利额-固定支出-抽奖总奖金数）

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20. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 两焦点，若存在直线 $l$ ，使得 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 关于 $l$ 的对称点的连线恰好是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 m x - 4 m y + 5 m^{2} - 1 = 0$ $(m \in R, m \neq 0)$ 的一条直径.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的上顶点 $A$ 作斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $A B$ ， $A C$ ，两直线分别与椭圆交于 $B$ ， $C$ 两点，当 $k_{1} \cdot k_{2} = - 2$ 时，直线 $B C$ 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.

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21. 函数 $f (x) = a \cdot e^{x} - x^{2} - (2 a + b) x$ .

(1)、若 $a = 2$ ， $f (x)$ 在 $R$ 上递增，求 $b$ 的最大值；

(2)、若 $b = - 2 ln 2$ ，存在 $x_{0} \in (0 ， ln 2)$ ，使得对任意 $x \in (0 ， ln 2)$ ，都有 $f (x) \leq f (x_{0})$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的方程为 $x + 1 = 0$ ，曲线 $C$ 是以坐标原点 $O$ 为顶点，直线 $l$ 为准线的抛物线.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、分别求出直线 $l$ 与曲线 $C$ 的极坐标方程：

(2)、点 $A$ 是曲线 $C$ 上位于第一象限内的一个动点，点 $B$ 是直线 $l$ 上位于第二象限内的一个动点，且 $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，请求出 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | 2 x + 3 |$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x + 1$ ：

(2)、设函数 $f (x)$ 的最大值为 $m$ ，若 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} + \frac{9}{c^{2}} = 2 m - 4$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的最大值.

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$x$	1	2	3	4	5
$y$	50	60	70	80	100