湖北省武汉市2019届高三高考理数模拟试卷

试卷更新日期：2019-07-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数z满足 $\frac{1 + 2 z}{1 - z} = i$ ，则z=（）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} + 3 x < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(0,2)$ B、 $(-1,0)$ C、 $(-3,2)$ D、 $(-1,3)$

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3. 等比数列{a_n}中，a₁=-1，a₄=64，则数列{a_n}前3项和S₃=（）

A、13 B、 $- 13$ C、 $- 51$ D、51

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4. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有： $A$ ——结伴步行， $B$ ——自行乘车， $C$ ——家人接送， $D$ ——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据图中信息，求得本次抽查的学生中 $A$ 类人数是（）

A、30 B、40 C、42 D、48

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5. 为了得到函数 $y = sin 2 x$ 的图像，可以将 $y = cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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6. 已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中正确命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = {\begin{matrix} a^{x} ， x \geq 1 \\ a x + a - 2 ， x < 1 \end{matrix}$ ，在 $R$ 上单调递增，那么实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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8. 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 过点 $P (4 ， 2)$ 作一直线 $A B$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $P$ 为 $A B$ 中点，则 $| A B | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 已知 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 是两个相互垂直的单位向量，且 $\overset{⇀}{c} \cdot \overset{⇀}{a} = \sqrt{3}$ ， $\overset{⇀}{c} \cdot \overset{⇀}{b} = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} |=$ （）

A、 $\sqrt{6}$ ． B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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11. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为 $\frac{3}{4}$ ，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 $\frac{1}{4}$ .若他第1球投进的概率为 $\frac{3}{4}$ ，则他第2球投进的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ 定义域为 $[-1,2]$ ，记 $| f (x) |$ 的最大值为 $M$ ，则 $M$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y + 4 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x + 2 y - 1 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = y - x$ 的最小值为．

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14. 已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y²=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 3 S_{n - 1} + 2^{n} - 3 (n \geq 2), a_{1} = - 1$ ，则 $a_{4} =$ ．

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16. 在四面体 $P - A B C$ 中，若 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，底面 $Δ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形， $O$ 为 $Δ A B C$ 的中心，则 $∠ P A O$ 的余弦值为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $cos A = \frac{\sqrt{10}}{4}$ ， $B=2A$ ， $b = \sqrt{15}$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、已知 $M$ 在边 $B C$ 上，且 $\frac{C M}{M B} = \frac{1}{2}$ ，求 $Δ C M A$ 的面积.

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18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：CB⊥PD；

（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

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19. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (- 2, 1)$ ，且右焦点 $F (\sqrt{3}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、过 $N (1, 0)$ 的直线 $A B$ 交椭圆 $Γ$ 与 $A$ ， $B$ 两点，记 $t = \overset{⇀}{M A} • \overset{⇀}{M B}$ ，若 $t$ 的最大值和最小值分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ，求 $t_{1} + t_{2}$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = a (ln x + \frac{2}{x}) - \frac{e^{x - 1}}{x^{2}}$ （ $a \in R$ ， $a$ 为常数）在 $（ 0 ， 2 ）$ 内有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $x_{1} + x_{2} < 2 (1 + ln a)$ .

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21. 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 $\bar{x}$ （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

(2)、由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为年平均收入 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，经计算得 $s^{2} = 6.92$ .利用该正态分布，求：
(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 $84.14 %$ 的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民。若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？

附：参考数据与公式 $\sqrt{6.92} \approx 2.63$ ，若 $X$ ～ $N (μ ， σ^{2})$ ，则① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 务极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1} : ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $C_{2} : ρ^{2} = s \frac{1}{3 - 4 {sin}^{2} θ}$

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点为 $M$ ， $N$ ，求以 $M N$ 为直径的圆与 $y$ 轴的交点坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | x - 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若直线 $y = x + a$ 与 $y = f (x)$ 的图象所围成的多边形面积为 $\frac{9}{2}$ ，求实数 $a$ 的值.

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