河南省新乡市2019届高三文数第三次模拟测试试卷

试卷更新日期：2019-07-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $\frac{(2 + i) (3 + i)}{1 + i} =$ （）

A、5 B、 $5 i$ C、6 D、 $6 i$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x < 5}, B = {x | \sqrt{x} < 2}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $- 1.2 \in A$ B、 $\sqrt{15} \notin B$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \cup^{} B = {x | - 5 < x < 4}$

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3. 某超市抽取 $13$ 袋袋装食用盐，对其质量（单位： $g$ ）进行统计，得到如下茎叶图，若从这 $13$ 袋食用盐中随机选取 $1$ 袋，则该袋食用盐的质量在[499，501]内的概率为（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{6}{13}$ C、 $\frac{7}{13}$ D、 $\frac{8}{13}$

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4. 设向量 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 是平面内的一组基底，若向量 $\vec{a} = - 3 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}$ 与 $\vec{b} = {\vec{e}}_{1} - λ {\vec{e}}_{2}$ 共线，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、 $3$

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5. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，则（）

A、 $f (tan 70^{\circ}) > f (1.4) > f (- 1.5)$ B、 $f (tan 70^{\circ}) > f (- 1.5) > f (1.4)$ C、 $f (1.4) > f (tan 70^{\circ}) > f (- 1.5)$ D、 $f (- 1.5) > f (1.4) > f (tan 70^{\circ})$

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6. 若曲线 $y = \frac{x^{n}}{e^{x}}$ 在点 $(1 ， \frac{1}{e})$ 处的切线的斜率为 $\frac{4}{e}$ ，则 $n =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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7. 如图，过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的上方），若 $A ， B$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离分别为 $d_{1} ， d_{2}$ ，且 $d_{2} = 4 d_{1}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = sin$ $(2 ω x + φ) + cos$ $(2 ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (- x) = - f (x)$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = - \sqrt{2} sin 2 x$ B、 $f (x) = \sqrt{2} sin 2 x$ C、 $f (x) = - \sqrt{2} cos 2 x$ D、 $f (x) = \sqrt{2} cos 2 x$

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9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 5, S_{10} = 30$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、 $90$ B、 $125$ C、 $155$ D、 $180$

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10. 若圆 $C : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 18$ 与圆 $D : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = R^{2}$ 的公共弦长为 $6 \sqrt{2}$ ，则圆 $D$ 的半径为（）

A、 $5$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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11. 某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ 或 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{20}{3}$ 或 $6$

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12. 已知函数 $f (f (x)) = {\begin{matrix} {log}_{2} (1 - x) ， x \leq 0 \\ 1 - {log}_{2} x ， 0 < x \leq 1 \\ {log}_{2} ({log}_{2} x) ， x > 1 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (f (x)) = m$ 只有两个不同的实根，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[0 ， 1)$

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二、填空题

13. 在样本的频率分布直方图中，共有 $9$ 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 $8$ 个小长方形面积的和的 $\frac{1}{3}$ ，且样本容量为 $200$ ，则中间一组的频数为．

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14. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} = 3, S_{13} = 91$ ，则 $a_{1} + a_{11} =$ ．

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C D$ 上一点，且 $C E = 2 D E$ ， $F$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，且平面 $B E F$ 与 $D D_{1}$ 交于点 $G$ ，则 $B_{1} G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为．

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16. 某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过

30

亩，投入资金不超过

25

万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：

	年产量/亩	年种植成本/亩	每吨售价
莴笋	5吨	1万元	0.5万元
西红柿	4.5吨	0.5万元	0.4万元

那么，该农户一年种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）的最大值为万元

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三、解答题

17. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $A B ⊥ B C$ .

(1)、求 $B D$ ；

(2)、若 $∠ B C D = 150 °$ ，求 $C D$ .

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18. 《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《Super Brain》而推出的大型科学竞技真人秀节目，节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，

120

分以上才有机会入围，某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各

100

名，然后对这

200

名学生进行脑力测试，规定：分数不小于

120

分为“入围学生”，分数小于

120

分为“未入围学生”，已知男生入围

24

人，女生未入围

80

人，

(1)、根据题意，填写下面的

2 \times 2

列联表，并根据列联表判断是否有

90 %

以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.

性别	入围人数	未入围人数	总计
男生	24
女生		80
总计

(2)、用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取

11

名学生.

（ⅰ）求这 $11$ 名学生中女生的人数；

（ⅱ）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这 $11$ 名学生中女生测试分数的平均分的最小值.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d .$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各条棱长均为 $4$ ，且 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $M ， N$ 分别在线段 $B B_{1}$ 和线段 $C C_{1}$ 上，且 $B_{1} M = 3 B M ， C N = 3 C_{1} N$ ，

(1)、证明：平面 $D M N ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - D M N$ 的体积.

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20. 已知直线 $l_{1} : y = k x + 2$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点， $l_{1}$ 与直线 $l_{2} : x + 2 y - 4 = 0$ 交于点 $M$

(1)、证明： $l_{2}$ 与C相切；

(2)、设线段 $A B$ 的中点为 $N$ ，且 $| A B | = | M N |$ ,求 $l_{1}$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a ln x$

(1)、当 $a = - 4$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $a \in (1 ， 2]$ ， $b \in R$ ，函数 $g (x) = x^{3} + b x^{2} - (2 b + 4) x + ln x$ ，若 $f (x)$ 的极小值点与 $g (x)$ 的极小值点相等，证明： $g (x)$ 的极大值不大于 $\frac{5}{4} .$

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $y = {\begin{matrix} x = 2 + c o s α \\ y = 3 + s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 $A$ 的极坐标为 $(3, \frac{π}{2})$ ，

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、过 $A$ 作曲线 $C$ 的切线，切点为 $M$ ，过 $O$ 作曲线 $C$ 的切线，切点为 $N$ ，求 $\frac{| O N |}{| A M |} .$

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23. 已知函数 $f (x) = | \frac{a}{x} + 1 | + | x + 2 a |$ ．

(1)、若 $a ＝ 1$ ，证明： $f (| x |) \geq 5$ ；

(2)、若 $f (1) < 5 a^{2}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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