河南省六市2019届高三理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2019-07-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | y = x + 1, x \in Z}$ ，集合 $B = {y | y = 2 x, x \in Z}$ ，则集合 $A \cap^{} B$ 等于（）

A、 ${1, 2}$ B、 $(1, 2)$ C、 ${(1, 2)}$ D、 $ϕ$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i) z = | 3 - 4 i |$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-4 B、 $\frac{4}{5}$ C、4 D、 $- \frac{4}{5}$

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3. 某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）

A、416 B、432 C、448 D、464

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，且 $a {}_{5}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{6}$ 的等比中项，则该数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 取最小值时，则 $n$ 的值为（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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5. 设 $P$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角面 $B D D_{1} B_{1}$ （含边界）内的点，若点 $P$ 到平面 $A B C$ 、平面 $A B A_{1}$ 、平面 $A D A_{1}$ 的距离相等，则符合条件的点 $P$ （）

A、仅有一个 B、有有限多个 C、有无限多个 D、不存在

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6. 已知 $R t Δ A B C$ ，点 $D$ 为斜边 $B C$ 的中点， $| \overset{⇀}{A B} | = 6 \sqrt{3}$ ， $| \overset{⇀}{A C} | = 6$ ， $\overset{⇀}{A E} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{E D}$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{E B}$ 等于（）

A、-14 B、-9 C、9 D、14

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7. 设变量 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 \\ x - 3 y + 3 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = | x - y - 4 |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{13}{3}$ D、6

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8. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{2^{x}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设实数 $a ， b ， c$ 分别满足 $a = 5^{- \frac{1}{2}}$ ， $b ln b = 1$ ， $3 c^{3} + c = 1$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为 $($ 　　 $)$

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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10. 在直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $A ， B$ 分别为左、右顶点，过点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，连接 $P B$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，连接 $A E$ 交 $P Q$ 于点 $M$ ，若 $M$ 是线段 $P F$ 的中点，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且对任意的 $m, n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n} + m n$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2019} \frac{1}{a_{i}} =$ （）

A、 $\frac{2019}{2020}$ B、 $\frac{2018}{2019}$ C、 $\frac{2018}{1010}$ D、 $\frac{2019}{1010}$

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12. 已知函数 $f (x) = sin 2 x$ 的图象与直线 $2 k x - 2 y - k π = 0$ $(k > 0)$ 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $(x_{1} - x_{2}) tan (x_{2} - 2 x_{3}) =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

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二、填空题

13. 已知 $tan (x + \frac{π}{4}) = 2$ ， $x$ 是第三象限角，则 $cos x =$ ．

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14. 《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．

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15. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，其准线为直线 $l$ ，过点 $M (5 ， 2 \sqrt{5})$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，则 $∠ F M H$ 的角平分线所在的直线斜率是．

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16. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 ${sin}^{2} A + sin A sin B - 6 {sin}^{2} B = 0$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $cos C = \frac{3}{4}$ ，求 $sin B$ 的值.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $Δ P A B$ 为等边三角形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Q$ 为 $P B$ 中点.

(1)、求证： $A Q ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值.

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19. 为评估

M

设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/ $m m$	78	79	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	93	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值 $μ = 85$ ，标准差 $σ = 2.2$ ，以频率值作为概率的估计值.

(1)、为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为

X

，并根据以下不等式进行评判（

p

表示相应事件的频率）：

① $P (μ - σ < X < μ + σ) \geq 0.6826$ ；② $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \geq 0.9544$ ；③ $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \geq 0.9974$ ，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断 $M$ 设备的性能等级.

(2)、将直径小于等于

μ - 2 σ

的零件或直径大于等于

μ + 2 σ

的零件认定为是“次品”，将直径小于等于

μ - 3 σ

的零件或直径大于等于

μ + 3 σ

的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数

Y

的数学期望.

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20. 已知动点 $P$ 到定点 $F (1, 0)$ 和到直线 $x = 2$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ，过点 $F$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与曲线 $E$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l$ ： $y = m x + n$ 与曲线 $E$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点，与 $A B$ 相交于一点（交点位于线段 $A B$ 上，且与 $A$ 、 $B$ 不重合）.

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、当直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切时，四边形 $A C B D$ 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1), g (x) = a x - a (a \in R)$

(1)、若 $y = g (x)$ 为曲线 $y = f (x)$ 的一条切线，求a的值；

(2)、已知 $a < 1$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < g (x_{0})$ ，求a的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ .

(1)、以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $C$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）， $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $| A B | = 4 \sqrt{6}$ ，求 $l$ 的倾斜角.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | 2 x + m | (m \in R)$ .

(1)、若 $m = 2$ 时，解不等式 $f (x) \leq 3$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | 2 x - 3 |$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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