山西省大同市2018-2019学年中考数学二模考试试卷

试卷更新日期：2019-07-09 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列结果为2的是（）

A、﹣（+2） B、 $\frac{1}{2}$ C、|﹣2| D、﹣|﹣2|

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2. 如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，从上面看到的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、﹣（a³）²＝a⁵ B、a²+a²＝a⁴ C、 ${(\frac{1}{2})}^{- 2}$ =4 D、| $\sqrt{3}$ ﹣2|＝ $\sqrt{3}$ ﹣2

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4. 如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝27°，则∠2的度数是（）

A、53° B、63° C、73° D、27°

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5. 不等式组 ${\begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ 2 x + 4 > 0 \end{matrix}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. “山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（）

A、56×10⁸ B、5.6×10⁸ C、5.6×10⁹ D、0.56×10¹⁰

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7. 将抛物线y＝x²﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）

A、y＝x²+3x+6 B、y＝x²+3x C、y＝x²﹣5x+10 D、y＝x²﹣5x+4

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8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱问有多少人，物品的价格是多少”？设有m人，物品价格是n钱，下列四个等式：①8m+3＝7m﹣4；② $\frac{n - 3}{8}$ = $\frac{n + 4}{7}$ ；③ $\frac{n + 3}{8}$ = $\frac{n - 4}{7}$ ；④8m﹣3＝7m+4，其中正确的是（）

A、①② B、②④ C、②③ D、③④

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9. 寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（）

A、20 B、22 C、25 D、20或25

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10. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域面积记为S₁ ，黑色部分面积记为S₂ ，其余部分面积记为S₃ ，则（）

A、S₁＝S₂ B、S₁＝S₃ C、S₂＝S₃ D、S₁＝S₂+S₃

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二、填空题

11. 计算：（a+b）（2a﹣2b）＝．

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12. 如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长为．

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13. 若反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x}$ 的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是．

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14. 某校园餐厅把WIF密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是．

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15. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是CD上一点，∠FBE＝45°，则tan∠FEB的值是．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $- \sqrt{3} \sin 60^{°} + 2^{- 1} + \sqrt[3]{- 27} + {(- 3)}^{0}$

(2)、 $(\frac{x^{2}}{x - 1} - x + 1) \div \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{1 - x}$

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17. 如图，一次函数y₁＝kx+b（k≠0）和反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于点A（﹣4，2），B（n，﹣4）

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、观察图象，直接写出不等式y₁＜y₂的解集．

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18. 如图，在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB分别与y轴，x轴交于A（0，4），B（3，0）两点．

(1)、尺规作图：在x轴上求作一点C，使△ABC是以∠C为顶角的等腰三角形，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）的条件下，求点C的坐标．

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19. 目前“微信”以其颠覆性的创新，赢得了数亿人的支持，为了调查某中学学生在周日上“微信”的时间，随机对100名男生和100名女生进行了问卷调查，得到了如下的统计结果

表1：男生上“微信时间的频数分布表

上网时间（分钟）	30≤x＜40	40≤x＜50	50≤x＜60	60≤x＜70	70≤x＜80
人数	5	25	30	25	15

表2：女生上“微信”时间的频数分布表

上网时间（分钟）	30≤x＜40	40≤x＜50	50≤x＜60	60≤x＜70	70≤x＜80
人数	10	20	40	20	10

请结合图表完成下列各题

(1)、完成表3：

表3	上“微信”时间少于60分钟	上“微信”时间不少于60分钟
男生人数
女生人数

(2)、若该中学共有女生750人，请估计其中上“微信”时间不少于60分钟的人数；

(3)、从表3的男生中抽取5人（其中3人上“微信”时间少于60分钟，2人上“微信”时间不少于60分钟），再从抽取的5人中任取2人，请用列表或画树状图的方法求出至少有一人上“微信”时间不少于60分钟的概率．

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20. 大张高铁是连接晋北地区与京津冀地区的重要交通枢纽，也是大同市的“一号工程”，大张高铁预计于今年9月进行联调联试，并计划年底开通大张高铁开通后，从大同至北京的列车运行时间将比普通列车缩短4 $\frac{1}{3}$ 小时，已知大同到北京全程约350千米，高铁列车的速度是普通列车速度的3.6倍，求从大同乘坐高铁到北京需要多长时间？

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21. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：

托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，

求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．

∵ $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{C D}$

∴∠ABE＝∠ACD

∴△ABE∽△ACD

∴ $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{C D}$

∴AB•CD＝AC•BE

∵ $\vec{A B} = \vec{A B}$

∴∠ACB＝∠ADE（依据1）

∵∠BAE＝∠CAD

∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC

即∠BAC＝∠EAD

∴△ABC∽△AED（依据2）

∴AD•BC＝AC•ED

∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）

∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD

任务：

(1)、上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

(2)、当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．
（请写出）

(3)、如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为 $\vec{B D}$ 的中点，求AC的长．

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22. 综合与实践
问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，并连接CE，BD．

(1)、操作发现：当等腰Rt△ADE绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了：
①线段CE与线段BD之间的数量关系是．

②直线CE与直线BD之间的位置关系是．

(2)、类比思考：智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若△ABC与△ADE都为直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AC＝2AB，AE＝2AD，请你写出CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．

(3)、拓展应用：创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线AB上方时，若DE∥AB，且AB＝ $\sqrt{5}$ ，AD＝1，其他条件不变，试求出线段CE的长．（直接写出结论）

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23. 综合与探究
如图，已知抛物线y＝ax²﹣3x+c与y轴交于点A（0，﹣4），与x轴交于点B（4，0），点P是线段AB下方抛物线上的一个动点．

(1)、求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；

(2)、当点P移动到抛物线的什么位置时，∠PAB＝90°求出此时点P的坐标；

(3)、当点P从点A出发，沿线段AB下方的抛物线向终点B移动，在移动中，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S关于t的函数表达式，并求t为何值时S有最大值，最大值是多少？

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