四川省遂宁市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-07-09 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- | - \sqrt{2} |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、2

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2. 下列等式成立的是（）

A、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ B、 ${(a^{2} b^{3})}^{2} = a^{4} b^{6}$ C、 $(2 a^{2} + a) \div a = 2 a$ D、 $5 x^{2} y - 2 x^{2} y = 3$

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3. 如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为 $- 2$ 的面与其对面上的数字之积是（）

A、 $- 12$ B、0 C、 $- 8$ D、 $- 10$

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4. 某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（）

A、100 B、被抽取的100名学生家长 C、被抽取的100名学生家长的意见 D、全校学生家长的意见

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5. 已知关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则a的值为（）

A、0 B、 $\pm 1$ C、1 D、 $- 1$

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6. 如图， $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ A = 45^{°}$ ， $⊙ O$ 的半径 $r = 4$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $4 π - 8$ B、 $2 π$ C、 $4 π$ D、 $8 π - 8$

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7. 如图， $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O ， $O E ⊥ B D$ 交 $A D$ 于点E ，连接 $B E$ ，若 $▱ A B C D$ 的周长为28，则 $Δ A B E$ 的周长为（）

A、28 B、24 C、21 D、14

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8. 关于x的方程 $\frac{k}{2 x - 4} - 1 = \frac{x}{x - 2}$ 的解为正数，则k的取值范围是（）

A、 $k > - 4$ B、 $k < 4$ C、 $k > - 4$ 且 $k \neq 4$ D、 $k < 4$ 且 $k \neq - 4$

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9. 二次函数 $y = x^{2} - a x + b$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = 2$ ，下列结论错误的是（）

A、 $a = 4$ B、当 $b = - 4$ 时，顶点的坐标为 $(2 ， - 8)$ C、当 $x = - 1$ 时， $b > - 5$ D、当 $x > 3$ 时，y随x的增大而增大

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $Δ B P C$ 是等边三角形，连接 $D P$ 并延长交 $C B$ 的延长线于点H ，连接 $B D$ 交 $P C$ 于点Q ，下列结论：
① $∠ B P D = 135^{°}$ ；② $Δ B D P ∽ Δ H D B$ ；③ $D Q ： B Q = 1 ： 2$ ；④ $S_{Δ B D P} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ．

其中符合题意的有（）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④

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二、填空题

11. 2018年10月24日，我国又一项世界级工程﹣﹣港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为米．

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12. 若一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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13. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为分．

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14. 阅读材料：定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i^{2} = - 1$ ，这个数i叫做虚数单位，把形如 $a + b i$ （a ， b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算： $(4 + i) + (6 - 2 i) = (4 + 6) + (1 - 2) i = 10 - i$ ；

$(2 - i) (3 + i) = 6 - 3 i + 2 i - i^{2} = 6 - i - (- 1) = 7 - i$ ；

$(4 + i) (4 - i) = 16 - i^{2} = 16 - (- 1) = 17$ ；

${(2 + i)}^{2} = 4 + 4 i + i^{2} = 4 + 4 i - 1 = 3 + 4 i$

根据以上信息，完成下面计算：

$(1 + 2 i) (2 - i) + {(2 - i)}^{2} =$ ．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段 $O A$ 上一点，将 $Δ O C G$ 沿 $C G$ 翻折，O点恰好落在对角线 $A C$ 上的点P处，反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 经过点B ．二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过 $C (0 ， 3)$ 、G、A三点，则该二次函数的解析式为．（填一般式）

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三、解答题

16. 计算： ${(- 1)}^{2019} + {(- 2)}^{- 2} + {(3.14 - π)}^{0} - 4 \cos 30^{°} + | 2 - \sqrt{12} |$

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17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x < 5 x + 6 \\ \frac{x + 1}{6} \geq \frac{x - 1}{2} \end{array}$ ，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．

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18. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \div \frac{a^{2} - a b}{a} - \frac{2}{a + b}$ ，其中a ， b满足 ${(a - 2)}^{2} + \sqrt{b + 1} = 0$ ．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ，延长 $B C$ 到E ，使 $C E = B C$ ，连接 $A E$ 交 $C D$ 于点F ，点F是 $C D$ 的中点．求证：

(1)、 $Δ A D F ≌ Δ E C F$ ．

(2)、四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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20. 汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ，斜坡 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： 1$ ；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡 $E F$ 的坡度 $i = 1 ： \sqrt{5}$ ，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）

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21. 仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的 $\frac{3}{2}$ 倍，但进价比第一批每件多了5元．

(1)、第一批仙桃每件进价是多少元？

(2)、老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）

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22. 我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：

代号	活动类型
A	经典诵读与写作
B	数学兴趣与培优
C	英语阅读与写作
D	艺体类
E	其他

为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．

(1)、此次共调查了名学生．

(2)、将条形统计图补充完整．

(3)、“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为．

(4)、若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？

(5)、学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．

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23. 如图，一次函数 $y = x - 3$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点A与点 $B (a ， - 4)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接 $O P$ ，且过点P作y轴的平行线交直线 $A B$ 于点C ，连接 $O C$ ，若 $Δ P O C$ 的面积为3，求出点P的坐标．

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24. 如图， $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $A D$ 交 $B C$ 于点E ，延长 $A D$ 至点F ，使 $D F = 2 O D$ ，连接 $F C$ 并延长交过点A的切线于点G ，且满足 $A G / / B C$ ，连接 $O C$ ，若 $\cos ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $B C = 6$ ．

(1)、求证： $∠ C O D = ∠ B A C$ ；

(2)、求 $⊙ O$ 的半径 $O C$ ；

(3)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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25. 如图，顶点为 $P (3 ， 3)$ 的二次函数图象与x轴交于点 $A (6 ， 0)$ ，点B在该图象上， $O B$ 交其对称轴l于点M ，点M、N关于点P对称，连接 $B N$ 、 $O N$ ．

(1)、求该二次函数的关系式．

(2)、若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接 $O P$ ，当 $O P = \frac{1}{2} M N$ 时，请判断 $Δ N O B$ 的形状，并求出此时点B的坐标．

②求证： $∠ B N M = ∠ O N M$ ．

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