四川省乐山市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-07-09 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{3}$ 的绝对值是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 小强同学从 $- 1$ ， $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 这六个数中任选一个数，满足不等式 $x + 1 < 2$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. $- a$ 一定是（）

A、正数 B、负数 C、 $0$ D、以上选项都不符合题意

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5. 如图，直线 $a$ ∥ $b$ ，点 $B$ 在 $a$ 上，且 $A B ⊥ B C$ .若 $∠ 1 = 35^{°}$ ，那么 $∠ 2$ 等于（）

A、 $45^{°}$ B、50° C、 $55^{°}$ D、 $60^{°}$

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 6 < 3 x \\ \frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）

A、1，11 B、7，53 C、7，61 D、6，50

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8. 把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 如图，在边长为 $\sqrt{3}$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 30 °$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，现将△ $A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折至△ $A F E$ 的位置， $A F$ 与 $C D$ 交于点 $G$ .则 $C G$ 等于（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 是以点 $C$ （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点， $Q$ 是线段 $P A$ 的中点，连结 $O Q$ .则线段 $O Q$ 的最大值是（）

A、 $3$ B、 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $4$

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二、填空题

11. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是．

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12. 某地某天早晨的气温是 $- 2$ ℃，到中午升高了 $6$ ℃，晚上又降低了 $7$ ℃.那么晚上的温度是 $^{°} C$ .

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13. 若 $3^{m} = 9^{n} = 2$ .则 $3^{m + 2 n} =$ .

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14. 如图，在△ $A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ .则 $A B$ 边的长为.

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15. 如图，点 $P$ 是双曲线 $C$ ： $y = \frac{4}{x}$ （ $x > 0$ ）上的一点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $A B$ ： $y = \frac{1}{2} x - 2$ 于点 $Q$ ，连结 $O P$ ， $O Q$ .当点 $P$ 在曲线 $C$ 上运动，且点 $P$ 在 $Q$ 的上方时，△ $P O Q$ 面积的最大值是.

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16. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D$ ∥ $B C$ ， $∠ B = 30^{°}$ ，直线 $l ⊥ A B$ .当直线 $l$ 沿射线 $B C$ 方向，从点 $B$ 开始向右平移时，直线 $l$ 与四边形 $A B C D$ 的边分别相交于点 $E$ 、 $F$ .设直线 $l$ 向右平移的距离为 $x$ ，线段 $E F$ 的长为 $y$ ，且 $y$ 与 $x$ 的函数关系如图2所示，则四边形 $A B C D$ 的周长是.

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(2019 - π)}^{0} + 2 \sin 30^{°}$ .

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18. 如图，点 $A$ 、 $B$ 在数轴上，它们对应的数分别为 $- 2$ ， $\frac{x}{x + 1}$ ，且点 $A$ 、 $B$ 到原点的距离相等.求 $x$ 的值.

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19. 如图，线段 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $E$ ， $A E = D E$ ， $B E = C E$ .求证： $∠ B = ∠ C$ .

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20. 化简： $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - x}{x + 1}$ .

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21. 如图，已知过点 $B (1 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = 2 x + 4$ 相交于点 $P (- 1 ， a)$ .

(1)、求直线 $l_{1}$ 的解析式；

(2)、求四边形 $P A O C$ 的面积.

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22. 某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为 $30$ 分），测试结束后，张老师从七年级 $720$ 名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图 $12$ 所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)、张老师抽取的这部分学生中，共有名男生，名女生；

(2)、张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是；

(3)、若将不低于 $27$ 分的成绩定为优秀，请估计七年级 $720$ 名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少.

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23. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ .

(1)、求证：无论 $k$ 为任何实数，此方程总有两个实数根；

(2)、若方程的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{4}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若 $R t$ △ $A B C$ 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $R t Δ$ $A B C$ 的内切圆半径.

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24. 如图，直线 $l$ 与⊙ $O$ 相离， $O A ⊥ l$ 于点 $A$ ，与⊙ $O$ 相交于点 $P$ ， $O A = 5$ . $C$ 是直线 $l$ 上一点，连结 $C P$ 并延长交⊙ $O$ 于另一点 $B$ ，且 $A B = A C$ .

(1)、求证： $A B$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若⊙ $O$ 的半径为 $3$ ，求线段 $B P$ 的长.

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25. 在△ $A B C$ 中，已知 $D$ 是 $B C$ 边的中点， $G$ 是△ $A B C$ 的重心，过 $G$ 点的直线分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ .

(1)、如图1，当 $E F$ ∥ $B C$ 时，求证： $\frac{B E}{A E} + \frac{C F}{A F} = 1$ ；

(2)、如图2，当 $E F$ 和 $B C$ 不平行，且点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $A B$ 、 $A C$ 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

(3)、如图3，当点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上或点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

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26. 如图，已知抛物线 $y = a (x + 2) (x - 6)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且tan $∠ C A B = \frac{3}{2}$ .设抛物线的顶点为 $M$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $N$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 $P$ 为抛物线的对称轴上一点， $Q (n ， 0)$ 为 $x$ 轴上一点，且 $P Q ⊥ P C$ .
①当点 $P$ 在线段 $M N$ (含端点)上运动时，求 $n$ 的变化范围；

②当 $n$ 取最大值时，求点 $P$ 到线段 $C Q$ 的距离；

③当 $n$ 取最大值时，将线段 $C Q$ 向上平移 $t$ 个单位长度，使得线段 $C Q$ 与抛物线有两个交点，求 $t$ 的取值范围.

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