山东省淄博市2019年中考数学试卷（A卷)

试卷更新日期：2019-07-09 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 比﹣2小1的数是（）

A、﹣3 B、﹣1 C、1 D、3

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2. 国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（）

A、 $40 \times 10^{8}$ B、 $4 \times 10^{9}$ C、 $4 \times 10^{10}$ D、 $0.4 \times 10^{10}$

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3. 下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，小明从 $A$ 处沿北偏东 $40 °$ 方向行走至点 $B$ 处，又从点 $B$ 处沿东偏南 $20 °$ 方向行走至点 $C$ 处，则 $∠ A B C$ 等于（）

A、 $130 °$ B、 $120 °$ C、 $110 °$ D、 $100 °$

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5. 解分式方程 $\frac{1 - x}{x - 2} = \frac{1}{2 - x} - 2$ 时，去分母变形正确的是（）

A、 $- 1 + x = - 1 - 2 (x - 2)$ B、 $1 - x = 1 - 2 (x - 2)$ C、 $- 1 + x = 1 + 2 (2 - x)$ D、 $1 - x = - 1 - 2 (x - 2)$

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6. 与下面科学计算器的按键顺序：

对应的计算任务是（）

A、 $0.6 \times \frac{6}{5} + 12^{4}$ B、 $0.6 \times \frac{5}{6} + 12^{4}$ C、 $0.6 \times 5 \div 6 + 4^{12}$ D、 $0.6 \times \frac{6}{5} + 4^{12}$

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7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、6

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $∠ C A D = ∠ B$ ．若 $Δ A D C$ 的面积为 $a$ ，则 $Δ A B D$ 的面积为（）

A、 $2 a$ B、 $\frac{5}{2} a$ C、 $3 a$ D、 $\frac{7}{2} a$

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9. 若 $x_{1} + x_{2} = 3$ ， $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ ，则以 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为根的一元二次方程是（）

A、 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ B、 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ C、 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ D、 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$

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二、填空题

10. 单项式 $\frac{1}{2} a^{3} b^{2}$ 的次数是．

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11. 分解因式： $x^{3} + 5 x^{2} + 6 x$ =.

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12. 如图，在正方形网格中，格点 $Δ A B C$ 绕某点顺时针旋转角 $α (0 < α < 180 °)$ 得到格点 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A$ 与点 $A_{1}$ ，点 $B$ 与点 $B_{1}$ ，点 $C$ 与点 $C_{1}$ 是对应点，则 $α =$ 度．

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13. 某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是．

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14. 如图，在以 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 $A B C$ 中，将 $B$ 角折起，使点 $B$ 落在 $A C$ 边上的点 $D$ （不与点 $A$ ， $C$ 重合）处，折痕是 $E F$ ．

如图，当 $C D = \frac{1}{2} A C$ 时， $tan α_{1} = \frac{3}{4}$ ；

如图，当 $C D = \frac{1}{3} A C$ 时， $tan α_{2} = \frac{5}{12}$ ；

如图，当 $C D = \frac{1}{4} A C$ 时， $tan α_{3} = \frac{7}{24}$ ；

……

依此类推，当 $C D = \frac{1}{n + 1} A C$ （ $n$ 为正整数）时， $tan α_{n} =$ ．

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三、解答题

15. 解不等式 $\frac{x - 5}{2} + 1 > x - 3$ .

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16. 已知，在如图所示的“风筝”图案中， $A B = A D$ ， $A C = A E$ ， $∠ B A E = ∠ D A C$ .求证： $∠ E = ∠ C$ .

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17. 文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：

组别	年龄段	频数（人数）
第1组	$10 \leq x < 20$	5
第2组	$20 \leq x < 30$	$a$
第3组	$30 \leq x < 40$	35
第4组	$40 \leq x < 50$	20
第5组	$50 \leq x < 60$	15

(1)、请直接写出

a =

，

m =

，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是度．

(2)、请补全上面的频数分布直方图；

(3)、假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？

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18. “一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的 $A$ ， $B$ 两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：

$A$

$B$

成本（单位：万元/件）

2

4

售价（单位：万元/件）

5

7

问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

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19. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上，以 $A E$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点 $D$ ．

(1)、求证：① $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；
② $C D^{2} = C E \cdot C A$ ；

(2)、若点 $F$ 是劣弧 $A D$ 的中点，且 $C E = 3$ ，试求阴影部分的面积．

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20. 如图，正方形 $A B D E$ 和 $B C F G$ 的边 $A B$ ， $B C$ 在同一条直线上，且 $A B = 2 B C$ ，取 $E F$ 的中点 $M$ ，连接 $M D$ ， $M G$ ， $M B$ ．

(1)、试证明 $D M ⊥ M G$ ，并求 $\frac{M B}{M G}$ 的值．

(2)、如图，将如图中的正方形变为菱形，设 $∠ E A B = 2 α (0 < α < 90 °)$ ，其它条件不变，问（1）中 $\frac{M B}{M G}$ 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 $α$ 的式子表示）；若无变化，说明理由．

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21. 如图，顶点为 $M$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (3 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)、问在 $y$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使得 $Δ P A M$ 为直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

(3)、若在第一象限的抛物线下方有一动点 $D$ ，满足 $D A = O A$ ，过 $D$ 作 $D G ⊥ x$ 轴于点 $G$ ，设 $Δ A D G$ 的内心为 $I$ ，试求 $C I$ 的最小值．

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	$A$	$B$
成本（单位：万元/件）	2	4
售价（单位：万元/件）	5	7