浙江省丽水市四校联考2018-2019学年高二数学5月阶段性考试试卷

试卷更新日期：2019-07-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\frac{1}{8}, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{8})$ C、 $(\frac{1}{2}, 0)$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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2. 下列命题正确的是（）

A、如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 B、如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 C、如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 D、如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

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3. “方程 $x^{2} + y^{2} - a + 1 = 0$ 表示一个圆”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = x \ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处切线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x + y + 1 = 0$

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5. 二项式 ${(2 x + 1)}^{6}$ 的展开式中含 $x^{4}$ 项的系数为（）

A、60 B、120 C、240 D、480

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6. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法种数为（）

A、40 B、50 C、60 D、70

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \cos x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $y = f^{'} (x)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 利用数学归纳法证明“ $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*}, n > 1)$ ” 的过程中，由假设“ $n = k$ ”成立，推导“ $n = k + 1$ ”也成立时，左边应增加的项数是（）

A、 $k$ B、 $k + 1$ C、 $2^{k}$ D、 $2^{k} + 1$

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9. 如图，正四面体 $A - B C D$ 中， $P$ 是棱 $C D$ 上的动点，设 $C P = t C D$ （ $t \in (0 ， 1)$ ），记 $A P$ 与 $B C$ 所成角为 $α$ ， $A P$ 与 $B D$ 所成角为 $β$ ，则（）

A、 $α \geq β$ B、 $α \leq β$ C、当 $t \in (0 ， \frac{1}{2}]$ 时， $α \geq β$ D、当 $t \in (0 ， \frac{1}{2}]$ 时， $α \leq β$

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10. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 和 $\vec{d}$ 为空间中的4个单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{d} | + | \vec{b} - \vec{d} | + | \vec{c} - \vec{d} |$ 不可能等于（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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11. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 内运动，使得二面角 $P - A B - C$ 的平面角与二面角 $P - B C - A$ 的平面角互余，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、一段圆弧 B、椭圆的一部分 C、抛物线 D、双曲线的一支

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点， $I$ ， $G$ 分别为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内心和重心，当 $I G ⊥ x$ 轴时，椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、填空题

13. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1} = 1 + i$ ，且复数 $z_{2}$ 满足 $z_{1} \cdot z_{2} = 2 i$ ，则 $z_{2} =$ ； $| z_{2} | =$ .

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14. 直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 是关于 $k$ 的方程 $2 k^{2} - 4 k + m = 0$ 的两根，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m =$ ；若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m =$ .

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15. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为；表面积为．

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16. 已知双曲线 $x^{2} + m y^{2} = 1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则实数 $m =$ .

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x + \ln x$ 在区间 $(1 ， 3)$ 内不单调，则实数 $a$ 的取值范围是 .

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18. 已知 $f (x) = {(2 x - 1)}^{10} = a_{10} x^{10} + a_{9} x^{9} + a_{8} x^{8} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $C_{2}^{2} a_{2} + C_{3}^{2} a_{3} + C_{4}^{2} a_{4}$ $+ \dots + C_{10}^{2} a_{10} =$ .

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19. 在内切圆圆心为 $M$ 的 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ，在平面 $A B C$ 内，过点 $M$ 作动直线 $l$ ，现将 $Δ A B C$ 沿动直线 $l$ 翻折，使翻折后的点 $C$ 在平面 $A B M$ 上的射影 $E$ 落在直线 $A B$ 上，点 $C$ 在直线 $l$ 上的射影为 $F$ ，则 $\frac{| E F |}{| C F |}$ 的最小值为

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三、解答题

20. 已知圆 $C$ 的方程为： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + m = 0$ .

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $m$ 的值.

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21. 已知多面体 $A B C D E$ 中， $D E ⊥$ 平面 $A C D$ ， $A C$ ， $A C = A D = C D = D E = 2$ ， $A B = 1$ ， $O$ 为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $A O / /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值.

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22. 如图，椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，点 $P$ 在第四象限， $A$ 为左顶点， $B$ 为上顶点， $P A$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ， $P B$ 交 $x$ 轴于点 $D$ .

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、求 $Δ P C D$ 面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x^{2} + x + 1)$ .

(1)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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