吉林省长春市南关区2018-2019学年中考数学二模考试试卷

试卷更新日期：2019-07-03 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在 $2, 0, - 2, - 1$ 这四个数中，最小的数是（）

A、 $2$ B、 $0$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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2. 下列选项最接近于 $3^{5} c m$ 的是（）

A、一张纸 $A 4$ 的厚度 B、姚明的身高 C、五层楼房的高度 D、珠穆朗玛峰的高度

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3. 图①是由一个完全相同的小正方体组成的立体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（）

A、主视图，俯视较和左视图都改变 B、左视图 C、俯视图 D、主视图

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4. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 $5$ 尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短 $5$ 尺，问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长 $x$ 尺，竿子长 $y$ 尺，下列所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 5, \\ y - \frac{1}{2} x = 5. \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y - x = 5, \\ \frac{1}{2} x - y = 5. \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 5, \\ y - 2 x = 5. \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 5, \\ 2 x - y = 5. \end{array}$

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5. 如图，将 $Δ A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针旋转 $90 °$ 得到 $Δ E D C$ ，若点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一条直线上， $∠ A C B = 25 °$ ，则 $∠ A D C$ 的大小为（）

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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6. 数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国如图所示，在 $D$ 处没得旗杆顶端 $A$ 的仰角 $∠ A D E$ 为 $55 °$ ， $D$ 到旗杆的距离 $D E$ 为 $6$ 米，测角仪 $C D$ 的高度为 $1$ 米，设旗杆 $A B$ 的高度为 $x$ 米，则下列关系式正确的是（）

A、 $\tan 55 ° = \frac{6}{x - 1}$ B、 $\tan 55 ° = \frac{x - 1}{6}$ C、 $\sin 55 ° = \frac{x - 1}{6}$ D、 $\cos 55 ° = \frac{x - 1}{6}$

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7. 用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形 $A B C D$ ，下列作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在平面直角坐标系中， $R t Δ A B C$ 的顶点 $A$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上， $∠ A C B = 90 °$ ，边 $C B$ 在 $x$ 轴上，点 $D$ 为斜边 $A B$ 的中点，连续 $D C$ 并延长交 $y$ 轴于点 $E$ ，连结 $B E$ ，若 $Δ C E B$ 的面积为 $4$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $16$

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}$ .

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10. 分解因式： $a^{3} - a b^{2}$ .

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11. 一元二次方程 $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的根的判别式 $Δ$ $0$ .（填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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12. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别为边 $A B$ 、 $A C$ 的中点， $∠ A B C$ 的平分线交线段 $D E$ 于点 $F$ ，若 $A B = 12$ ， $B C = 18$ ，则线段 $E F$ 的长为.

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13. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，将 $Δ A B C$ 折叠，使点 $B$ 与点 $A$ 重合，折痕为 $D E$ ，若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则线段 $C D$ 的长为.

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14. 如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为 $8 m$ ，两侧蹑地面 $4 m$ 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 $6 m$ ，则这个门洞的高度为 $m$ .（精确到 $0.1 m$ ）

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三、解答题

15. 小明在解不等式 $\frac{x + 4}{3} - \frac{3 x - 1}{3} \geq 1$ 的过程中出现了错误，解答过程如下：
解不等式： $\frac{x + 4}{3} - \frac{3 x - 1}{3} \geq 1$

解：去分母，得 $2 (x + 4) - 3 (3 x - 1) \geq 1$ （第一步）

去括号，得 $2 x + 8 - 9 x - 3 \geq 1$ ，（第二步）

移项，得 $2 x - 9 x \geq 1 + 8 - 3$ ，（第三步）

合并同类项，得 $- 7 x \geq 6$ . （第四步）

两边都除以 $- 7$ ，得 $x \geq - \frac{6}{7}$ . （第五步）

(1)、小明的解答过程是从第步开始出现错误的.

(2)、请写出此题正确的解答过程

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16. 现有三张不透明的卡片 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，其中卡片的正面图案分别是剪刀、石头、布，卡片除下面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后数回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽到的图案相同的概率.

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17. 红红服装店用 $4500$ 元购进一批某款式T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，又用 $4950$ 元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 $9$ 元.求第一批该款式T恤衫每件进价.

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18. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上，连结 $A C$ 、 $B C$ .

(1)、求证： $∠ A = ∠ B C D$

(2)、若 $∠ A = 20 °$ ， $A B = 4$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长为+.（结果保留 $π$ ）

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19. 图①，图②，图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰当的网格中按要求画图.

(1)、在图①中，画出格点 $C$ ，使 $A C = B C$ ，用黑色实心圆点标出点 $C$ 所有可能的位置.

(2)、在图②中，在线段 $A B$ 上画出点 $M$ ，使 $A M = 3 B M$ .

(3)、在图③中，在线段 $A B$ 上画出点 $P$ ，使 $A P = 2 B P$ .（保留作图痕迹）
要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法.

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20. 某食品公司为迎接端午节，特别推出了几种新的粽子，并在一超市开展“品尝”活动，要求参加“品尝”活动的每一位顾客都选择一种新粽子而且只能选择一种新粽子，为了解市民对新粽子的喜欢程度，该食品公司随机抽取了参加“品尝”活动的部分顾客，进行“我最喜欢的新粽子”问卷调查，并将调查结果绘制成如下两个完整的统计图表.

参加“品尝”活动部分顾客“我最喜欢的粽子”调查结果统计表

新粽子名称	“品尝”人数
香芋粽	$5$
水果粽	$10$
莲子粽	$8$
香菇粽	$a$
鲍鱼粽	$4$
火腿粽	$b$
排骨粽	$9$

参加“品尝”活动部分顾客“我最喜欢的粽子”调查结果统计表

请解答下列问题：

(1)、

a =

，

b =

(2)、在扇形统计图中，“香芋粽”所对应的扇形圆心角为度.

(3)、若参加“品尝”活动的顾客共有

300

人，“品尝”某种新粽子的人数不低于

40

人才可以批量加工，试通过计算估计该食品公司哪种新粽子不能批量加工.

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21. 甲、乙两车分别从 $A$ 、 $B$ 两地同时出发，甲车匀速前往 $B$ 地，到达 $B$ 地立即以另一速度按原路匀速返回到 $A$ 地；乙车匀速前往 $A$ 地，设甲、乙两车距离 $A$ 地的距离为 $y (k m)$ . 甲车行驶的时间为 $x (h)$ ， $y$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示.

(1)、甲车从 $A$ 地前往 $B$ 地的速度为 $k m / h$ .

(2)、求甲车返回时 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围.

(3)、当甲、乙两车相距 $50 k m$ 时，直接写出甲车行驶的时间.

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22. 教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.
线段垂直平分线，我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直一部分线是线段的对称轴，如图直线 $M N$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线， $P$ 是 $M N$ 上任一点，连结 $P A$ 、 $P B$ ，将线段 $A B$ 与直线 $M N$ 对称，我们发现 $P A$ 与 $P B$ 完全重合，由此都有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.

已知：如图， $M N ⊥ A B$ ，垂足为点 $C$ ， $A C = B C$ ，点 $P$ 是直线 $M N$ 上的任意一点.

(1)、求证： $P A = P B$ .
分析：图中的两个直角三角形 $A P C$ 和 $B P C$ ，只要证明这两个三角形全等，便可证明 $P A = P B$ （请写出完整的证明过程）

请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程，

(2)、定理应用.
如图②，在 $Δ A B C$ 中，直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 的垂直平分线.

求证：直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 交于点.

(3)、如图③，在 $Δ A B C$ 中， $A B = B C$ ，边 $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，边 $B C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $E$ ，若 $∠ A B C = 120 °$ ， $A C = 18$ ，则 $D E$ 的长为.

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23. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ .点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度，沿 $A B$ 边向终点 $B$ 运动，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A B$ 交折线 $A C - C B$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交边 $B C$ 或边 $A C$ 于点 $E$ ，连结 $P E$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒.

(1)、当点 $D$ 在 $A C$ 边上时， $P D$ 的长为（用含 $t$ 的代数式表示）

(2)、当点 $D$ 为AC边的中点时，求 $t$ 的值.

(3)、设 $Δ P D E$ 的面积为 $S (S > 0)$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式.

(4)、当边 $P E$ 与 $Δ A B C$ 的边垂直时，直接写出 $t$ 的值.

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24. 在平面直角坐标系中，有两点 $A (a ， b)$ 、 $B (c ， d)$ ，若满足：当 $a \geq b$ 时， $c = a$ ， $d = - b^{2}$ ；当 $a < b$ 时， $c < - a$ ， $d < b$ ，则称点为点的“友好点”.

(1)、点 $(4 ， 1)$ 的“友好点”的坐标是.

(2)、点 $A (a ， b)$ 是直线 $y = x - 2$ 上的一点，点 $B$ 是点 $A$ 的“友好点”.
①当 $B$ 点与 $A$ 点重合时，求点 $A$ 的坐标.

②当 $A$ 点与 $A$ 点不重合时，求线段 $A B$ 的长度随着 $a$ 的增大而减小时， $a$ 的取值范围.

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