四川省自贡市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-07-01 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 2019$ 的倒数是（）

A、 $- 2019$ B、 $- \frac{1}{2019}$ C、 $\frac{1}{2019}$ D、 $2019$

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2. 近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（）

A、 $2.3 \times 10^{4}$ B、 $23 \times 10^{3}$ C、 $2.3 \times 10^{3}$ D、 $0.23 \times 10^{5}$

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3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是（）

A、甲的成绩比乙的成绩稳定 B、乙的成绩比甲的成绩稳定 C、甲、乙两人的成绩一样稳定 D、无法确定甲、乙的成绩谁更稳定

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5. 下图是水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 实数 $m ， n$ 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）

A、 $| m | < 1$ B、 $1 - m > 1$ C、 $m n > 0$ D、 $m + 1 > 0$

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8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 无实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $m \leq 1$ D、 $m > 1$

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9. 如一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 的图像如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 如图，已知 $A 、 B$ 两点的坐标分别为 $(8 ， 0) ， (0 ， 8)$ ，点 $C 、 F$ 分别是直线 $x = - 5$ 和x轴上的动点， $C F = 10$ ，点 $D$ 是线段 $C F$ 的中点，连接 $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ；当⊿ $A B E$ 面积取得最小值时， $\tan ∠ B A D$ 的值是（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{7}{17}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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二、填空题

13. 如图，直线 $A B 、 C D$ 被直线 $E F$ 所截， $A B$ ∥ $C D$ ， $∠ 1 = 120^{\circ}$ ；则 $∠ 2$ =.

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14. 在一次12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别为1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是.

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15. 分解因式： $2 x^{2} - 2 y^{2}$ = .

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16. 某活动小组购买4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为 $x$ 元，足球的单价为 $y$ 元，依题意，可列方程组为 .

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17. 如图，在 $R t$ △ $A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， A B = 10 ， B C = 6$ ， $C D$ ∥ $A B$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于 $E$ ， $D E$ = .

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18. 如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， $∠ α 、 ∠ β$ 如图所示，则 $\cos (α + β)$ =.

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三、解答题

19. 计算： $| - 3 | - 4 \sin 45^{\circ} + \sqrt{8} + {(π - 3)}^{0}$ .

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20. 解方程： $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x} = 1$ ．

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21. 如图，⊙ $O$ 中，弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$ ， $A B = C D$ ，连接 $A D 、 B C$ .

求证：

(1)、 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B C}$ ；

(2)、 $A E = C E$ .

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22. 某校举行了创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了竞赛.收集数据：现随机抽取初一年级30名同学“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：

90	85	68	92	81	84	95	93	87	89	78	99	89	85	97
88	81	95	86	98	95	93	89	86	84	87	79	85	89	82

(1)、请将图表中空缺的部分补充完整；

(2)、学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分以上的同学，根据上表统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；

(3)、“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .

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23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于第一、三象限内的 $A (3 ， 5) ， B (a ， - 3)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ .

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、在 $y$ 轴上找一点 $P$ 使 $P B - P C$ 最大，求 $P B - P C$ 的最大值及点 $P$ 的坐标；

(3)、直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围.

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24. 阅读下列材料：小明为了计算 $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2017} + 2^{2018}$ 的值，采用以下方法：
设 $S = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2017} + 2^{2018}$ ①

则 $2 S = 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2018} + 2^{2019}$ ②

②-①得 $2 S - S = 2^{2019} - 1$

∴ $S = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2017} + 2^{2018} = 2^{2019} - 1$

(1)、 $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{9}$ = ；

(2)、 $3 + 3^{2} + \dots + 3^{10}$ = ；

(3)、求1+a+a²+.....+aⁿ的和（ $a > 0$ ， $n$ 是正整数，请写出计算过程）.

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25. 如图

(1)、如图1， $E$ 是正方形 $A B C D$ 边 $A B$ 上的一点，连接 $B D 、 D E$ ，将 $∠ B D E$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线 $B C$ 交于点 $F$ 和点 $G$ .
①线段 $D B$ 和 $D G$ 的数量关系是；

②写出线段 $B E 、 B F$ 和 $D B$ 之间的数量关系.

(2)、当四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A D C = 60^{\circ}$ ，点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $A B$ 所在直线上的一点，连接 $B D 、 D E$ ，将 $∠ B D E$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线 $B C$ 交于点 $F$ 和点 $G$ .
①如图2，点 $E$ 在线段上时，请探究线段 $B E 、 B F$ 和 $B D$ 之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$ 在线段 $A B$ 的延长线上时， $D E$ 交射线 $B C$ 于点 $M$ ；若 $B E = 1 ， A B = 2$ ，直接写出线段 $G M$ 的长度.

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26. 如图，已知直线 $A B$ 与抛物线 $C$ ： $y = a x^{2} + 2 x + c$ 相交于 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (2 ， 3)$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的函数表达式；

(2)、若点 $M$ 是位于直线 $A B$ 上方抛物线上的一动点，以 $M A 、 M B$ 为相邻两边作平行四边形 $M A N B$ ，当平行四边形 $M A N B$ 的面积最大时，求此时四边形 $M A N B$ 的面积 $S$ 及点 $M$ 的坐标；

(3)、在抛物线 $C$ 的对称轴上是否存在定点 $F$ ，使抛物线 $C$ 上任意一点 $P$ 到点 $F$ 的距离等于到直线 $y = \frac{17}{4}$ 的距离，若存在，求出定点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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90	85	68	92	81	84	95	93	87	89	78	99	89	85	97
88	81	95	86	98	95	93	89	86	84	87	79	85	89	82

90	85	68	92	81	84	95	93	87	89	78	99	89	85	97
88	81	95	86	98	95	93	89	86	84	87	79	85	89	82

90	85	68	92	81	84	95	93	87	89	78	99	89	85	97
88	81	95	86	98	95	93	89	86	84	87	79	85	89	82