山东省泰安市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-07-01 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在实数 $| - 3.14 |$ ， $- 3$ ， $- \sqrt{3}$ ， $π$ 中，最小的数是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 3$ C、 $| - 3.14 |$ D、 $π$

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2. 2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里，远地点约42万公里的地月转移轨道.将数据42万公里用科学记数法表示为（）

A、 $4.2 \times 10^{9}$ 米 B、 $4.2 \times 10^{8}$ 米 C、 $42 \times 10^{7}$ 米 D、 $4.2 \times 10^{7}$ 米

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3. 下列图形：

其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $∠ 1 = 30 °$ ，则 $∠ 2 + ∠ 3 =$ （）

A、150° B、180° C、210° D、240°

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5. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

下列结论错误的是（）

A、众数是8 B、中位数是8 C、平均数是8.2 D、方差是1.2

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 4 \geq 2 (x - 1) \\ \frac{2 x + 5}{3} - \frac{3 x - 2}{2} > 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x \leq 2$ B、 $x \geq - 2$ C、 $- 2 < x \leq 2$ D、 $- 2 \leq x < 2$

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7. 如图，一艘船由 $A$ 港沿北偏东65°方向航行 $30 \sqrt{2} km$ 至 $B$ 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 $C$ 港， $C$ 港在 $A$ 港北偏东20°方向，则 $A$ ， $C$ 两港之间的距离为（） $km$ .

A、 $30 + 30 \sqrt{3}$ B、 $30 + 10 \sqrt{3}$ C、 $10 + 30 \sqrt{3}$ D、 $30 \sqrt{3}$

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8. 如图， $Δ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ A = 119 °$ ，过点 $C$ 的圆的切线交 $B O$ 于点 $P$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、32° B、31° C、29° D、61°

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9. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 如图，将 $⊙ O$ 沿弦 $A B$ 折叠， $\overset{⌢}{A B}$ 恰好经过圆心 $O$ ，若 $⊙ O$ 的半径为3，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2} π$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $E C$ 上一动点， $P$ 为 $D F$ 中点，连接 $P B$ ，则 $P B$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$ B、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{8}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$ D、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$

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二、填空题

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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14. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重 $x$ 两，每枚白银重 $y$ 两，根据题意可列方程组为.

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15. 如图， $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，以点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径作弧交 $A B$ 于点 $A$ ，点 $C$ ，交 $O B$ 于点 $D$ ，若 $O A = 3$ ，则阴影部分的面积为.

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16. 若二次函数 $y = x^{2} + b x - 5$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，则关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x - 5 = 2 x - 13$ 的解为.

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17. 在平面直角坐标系中，直线 $l ： y = x + 1$ 与 $y$ 轴交于点 $A_{1}$ ，如图所示，依次作正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，正方形 $C_{1} A_{2} B_{2} C_{2}$ ，正方形 $C_{2} A_{3} B_{3} C_{3}$ ，正方形 $C_{3} A_{4} B_{4} C_{4}$ ，…，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ，…在直线 $l$ 上，点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ ，…在 $x$ 轴正半轴上，则前 $n$ 个正方形对角线的和是.

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 \sqrt{6}$ ， $B C = 12$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $A B$ 上一点，将 $Δ A E F$ 沿 $E F$ 折叠后，点 $A$ 恰好落到 $C F$ 上的点 $G$ 处，则折痕 $E F$ 的长是.

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(a - 9 + \frac{25}{a + 1}) \div (a - 1 - \frac{4 a - 1}{a + 1})$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ .

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20. 为了弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（高成都绩于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）；

组别	分数	人数
第1组	90<x≤100	8
第2组	80<x≤90	a
第3组	70<x≤80	10
第4组	60<x≤70	b
第5组	50<x≤60	3

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求出

a

、

b

的值；

(2)、计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；

(3)、若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人.

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21. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (5 ， 0)$ ，若 $O B = A B$ ，且 $S_{Δ O A B} = \frac{15}{2}$ .

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)、若点 $P$ 为x轴上一点， $Δ A B P$ 是等腰三角形，求点 $P$ 的坐标.

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22. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进 $A$ 、 $B$ 两种粽子1100个，购买 $A$ 种粽子与购买 $B$ 种粽子的费用相同，已知 $A$ 粽子的单价是 $B$ 种粽子单价的1.2倍.

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种粽子的单价各是多少？

(2)、若计划用不超过7000元的资金再次购买 $A$ 、 $B$ 两种粽子共2600个，已知 $A$ 、 $B$ 两种粽子的进价不变，求 $A$ 中粽子最多能购进多少个？

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23. 在矩形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是边 $A D$ 上一点.

(1)、若 $B P$ 平分 $∠ A B D$ ，交 $A E$ 于点 $G$ ， $P F ⊥ B D$ 于点 $F$ ，如图①，证明四边形 $A G F P$ 是菱形；

(2)、若 $P E ⊥ E C$ ，如图②，求证： $A E \cdot A B = D E \cdot A P$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，求 $A P$ 的长.

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24. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $A (3 ， 0)$ 、 $B (0 ， - 2)$ ，且过点 $C (2 ， - 2)$ .

(1)、求二次函数表达式；

(2)、若点 $P$ 为抛物线上第一象限内的点，且 $S_{Δ P A B} = 4$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、在抛物线上（ $A B$ 下方）是否存在点 $M$ ，使 $∠ A B O = ∠ A B M$ ？若存在，求出点 $M$ 到 $y$ 轴的距离；若不存在，请说明理由.

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $Δ E F C$ 是等腰直角三角形，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $∠ C E F = 90 °$ ， $F G ⊥ A D$ ，垂足为点 $G$ .

(1)、试判断 $A G$ 与 $F G$ 是否相等？并给出证明.

(2)、若点 $H$ 为 $C F$ 的中点， $G H$ 与 $D H$ 垂直吗？若垂直，给出证明；若不存在，说明理由.

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