湖北省十堰市2019年高三理数四月调研考试试卷

试卷更新日期：2019-07-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设i为虚数单位，则复数 $z = \frac{2 - i}{2 + i}$ 的共扼复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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2. 设集合 $A = {x | 0 < x^{2} \leq 4}$ ， $B = {x | x > - 1}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | - 1 < x \leq 2}$ B、 $A \cup B = {x | x \geq - 2}$ C、 $A \cap B = {x | - 1 < x < 0}$ D、 $A \cup B = {x | x > - 1}$

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3. 若夹角为 $θ$ 的向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，且向量 $\vec{a}$ 为非零向量，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $- 2 \cos θ$ B、 $2 \cos θ$ C、 $- \cos θ$ D、 $\cos θ$

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4. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $x - 3 y + 1 = 0$ 垂直，则该双曲线的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 2$ ，则使 $a_{n} < 7$ 成立的 $n$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、24 D、25

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6. 某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为 $001, 002, \cdot \cdot \cdot, 599, 600$ 从中抽取 $60$ 个样本，如下提供随机数表的第 $4$ 行到第 $6$ 行：
$32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42$
$84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04$
$32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45$
若从表中第 $6$ 行第 $6$ 列开始向右依次读取 $3$ 个数据，则得到的第 $6$ 个样本编号（）

A、 $522$ B、 $324$ C、 $535$ D、 $578$

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{11 π}{6}$ B、 $\frac{7 π}{3}$ C、 $\frac{13 π}{6}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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8. 定义在 $[- 7, 7]$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $0 < x \leq 7$ 时， $f (x) = 2^{x} + x - 6$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(2, 7]$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, 7]$ C、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $[- 7, - 2) \cup (2, 7]$

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9. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x - y \leq 0 \\ x + 2 y \leq 9 \end{array}$ ，若目标函数 $z = a x + y$ 可在点 $(3 ， 3)$ 处取得最大值，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， \frac{1}{2}]$ D、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$

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10. 若点 $(\log_{14} 7, \log_{14} 56)$ 在函数 $f (x) = k x + 3$ 的图象上，则 $f (x)$ 的零点为（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C D$ 上一点，且 $C E = 2 D E$ ， $F$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，且平面 $B E F$ 与 $D D_{1}$ 交于点 $G$ ，则 $B_{1} G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{12}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$

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12. 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（ $1623 - 1662$ ）是在 $1654$ 年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉 $1261$ 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为 $1$ 的项．依次构成数列 $2 ， 3 ， 3 ， 4 ， 6 ， 4 ， 5 ， 10 ， 10 ， 5 \cdot \cdot \cdot$ ，则此数列前 $151$ 项和为（）

A、 $2^{19} - 211$ B、 $2^{18} - 211$ C、 $2^{19} - 209$ D、 $2^{18} - 209$

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二、填空题

13. 将函数 $f (x) = \sin (4 x - \frac{π}{6})$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则 $g (x)$ 的最小正周期是

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14. $(3 x + 1) {(\frac{1}{x} - 1)}^{5}$ 的展开式中的常数项为.

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15. 若直线 $y = 12 x + m$ 与曲线 $y = x^{3} - 2$ 相切，则 $m =$ ．

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16. 过抛物线 $M$ ： $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ 作两条斜率之积为 $- 2$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 交 $M$ 于 $A$ 、 $C$ 两点， $l_{2}$ 交 $M$ 于 $B$ ， $D$ 两点，则 $| A C | + | B D |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $3 \sin A = 2 \sin B, \tan C = \sqrt{35}$ .

(1)、求 cos2C ；

(2)、若 $A C - B C = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $P B = \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $∠ P A C = 30 °$ ．

(1)、若 $M$ 为 $A C$ 的中点，证明： $B M ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $B - P A - C$ 的余弦值．

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19. 某大型工厂有 $5$ 台大型机器在 $1$ 个月中， $1$ 台机器至多出现 $1$ 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的．出现故障时需 $1$ 名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为 $\frac{1}{2}$ ．已知 $1$ 名工人每月只有维修 $1$ 台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修．就能使该厂获得 $10$ 万元的利润，否则将亏损 $3$ 万元．该工厂每月需支付给每名维修工人 $1.5$ 万元的工资．

(1)、若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若该厂只有 $2$ 名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；

(2)、已知该厂现有 $4$ 名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为 $X$ 万元，求 $X$ 的分布列与数学期望；

（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应该再招聘 $1$ 名维修工人？

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F$ 是椭圆 $C$ 的一个焦点．点 $M (0, 2)$ ，直线 $M F$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $M$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $N$ ，且 $| A B | ＝ | M N |$ ．求 $l$ 的方程．

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21. 已知函数 f（x）=lnx ．

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论函数 $F (x) = \frac{3}{2} x^{2} - (6 + a) x + 2 a f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{f^{'} (x)}$ ，若斜率为 $k$ 的直线与函数 $y = g^{'} (x)$ 的图象交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 两点，证明： $x_{1} < \frac{1}{k} < x_{2}$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \cos α \\ y = 3 + \sin α \end{matrix}$ ，（ $α$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 $A$ 的极坐标为 $(3, \frac{π}{2})$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、过 $A$ 作曲线 $C$ 的切线，切点为 $M$ ，过 $O$ 作曲线的 $C$ 切线，切点为 $N$ ，求 $\frac{| O N |}{| A M |}$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | \frac{a}{x} + 1 | + | x + 2 a |$ ．

(1)、若 $a ＝ 1$ ，证明： $f (| x |) \geq 5$ ；

(2)、若 $f (1) < 5 a^{2}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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