河北省廊坊市2018-2019学年高二下学期文数期中联合调研考试试卷

试卷更新日期：2019-07-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{3 - i}$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 命题“ $\exists x > 0$ ，使 $2^{x} > 3^{x}$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ，使 $2^{x} ⩽ 3^{x}$ B、 $\exists x > 0$ ，使 $2^{x} \leq 3^{x}$ C、 $\forall x ⩽ 0$ ，使 $2^{x} ⩽ 3^{x}$ D、 $\exists x ⩽ 0$ ，使 $2^{x} \leq 3^{x}$

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3. 若等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = - 3, a_{4} = b_{4} = 24$ ，则 $\frac{a_{2}}{b_{2}} =$ （）

A、-1 B、1 C、-4 D、4

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4. 已知l、m、n 为三条不同直线， $α, β, γ$ 为三个不同平面，则下列判断正确的是（）

A、若 $α \cap β = m$ ， $α \cap γ = n$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ C、若 $α \cap β = l$ ， $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $m ∥ l$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ∥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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5. 在区间 $[0, 2 π]$ 上随机取一个数 $x$ ，则事件“ $\sin x \leq \frac{1}{2}$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、． $\frac{3}{4}$

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6. 已知曲线 $f (x) = \ln x + \frac{x^{2}}{a}$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $- 4$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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7. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ ，则下列判断错误的是（）

A、 $f (x)$ 周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 3]$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2} x$ 对称

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9. 函数 $f (x) = x \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + 1$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在 $R$ 上定义运算 $\otimes$ ： $x \otimes y = x (1 - y)$ ，若不等式 $(x - a) \otimes (x + a) < 1$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $- 1 < a < 1$ B、 $- \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$ D、 $0 < a < 2$

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11. 已知点F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，点P是双曲线右支上的一点，O为坐标原点，若 $| F P | = 2 | O F |, ∠ O F P = 120^{°}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、2

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，那么函数 $g (x) = f (| x |) - | \lg x |$ 的零点共有（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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二、填空题

13. 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，点 $A$ 的极坐标为 $(2 \sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为．

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14. 已知函数 $y = \log_{a} (x + 3) (a > 0, a \neq 1)$ 的图象过定点 $A$ ，若点 $A$ 也在函数 $f (x) = 3^{x} + b$ 的图象上，则 $f (\log_{3} 2) =$ ．

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15. $Δ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $\cos A = \frac{4}{5}$ ， $\cos C = \frac{5}{13}$ ， $a = 13$ ，则 $b =$ ．

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16. 已知定圆 $M$ ： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A$ 是圆 $M$ 所在平面内一定点，点 $P$ 是圆 $M$ 上的动点，若线段 $P A$ 的中垂线交直线 $P M$ 于点 $Q$ ，则点 $Q$ 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果的序号为．

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三、解答题

17. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $(x - 3 a) (x - a) < 0$ ， $q$ ：实数 $x$ 满足 $B = {x | \frac{2 x - 5}{x - 1} \geq 1} = {x | \frac{x - 4}{x - 1} \geq 0} = {x | x < 1 或 x \geq 4}$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，若 $p \lor q$ 为真，求实数 $x$ 的取值范围；

（Ⅱ）当 $a < 0$ 时，若 $p$ 是 $\neg q$ 的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知 $\vec{a} = (\sin (\frac{π}{2} - x) ， \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x ， - \cos x)$ ，若 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最大值和对称轴；

（Ⅱ）讨论 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的单调性．

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19. 在直角坐标系xOy 中，曲线C₁的参数方程为（为参数）M是C₁上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线C₂

(1)、求C₂的方程

(2)、在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $θ = \frac{π}{3}$ 与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求 .

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20. 为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的年龄频率分布直方图，在这100人中关注度非常高的人数与年龄的统计结果如右表所示：

年龄	关注度非常高的人数
$[15 ， 25)$	15
$[25 ， 35)$	5
$[35 ， 45)$	15
$[45 ， 55)$	23
$[55 ， 65)$	17

（Ⅰ）由频率分布直方图，估计这100人年龄的中位数和平均数；

（Ⅱ）根据以上统计数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过 $5 %$ 的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异？

（Ⅲ）按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人，再从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少．

	45岁以下	45岁以上	总计
非常高
一般
总计

参考数据：

${P(K}^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

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21. 已知点 $P (\sqrt{3}, 1)$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左右焦点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$
（I）求曲线E的方程；

（Ⅱ）若直线 $l : y = k x + m$ 不与坐标轴重合）与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，对任意的斜率k，若存在实数 $λ$ ，使得 $λ (k_{1} + k_{2}) + k = 0$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{1}) + a x_{1}^{2} + f (x_{2}) + a x_{2}^{2}] > 2 (e^{x_{2}} - e^{x_{1}})$ .

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