湖北省荆门市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-06-27 类型：中考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $- \sqrt{2}$ 的倒数的平方是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒.用科学记数法表示31536000正确的是（）

A、 $3.1536 \times 10^{6}$ B、 $3.1536 \times 10^{7}$ C、 $31.536 \times 10^{6}$ D、 $0.31536 \times 10^{8}$

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3. 已知实数x,y满足方程组 ${\begin{cases} 3 x - 2 y = 1, \\ x + y = 2. \end{cases}$ 则 $x^{2} - 2 y^{2}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $3$ D、 $- 3$

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4. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $95 °$ B、 $100 °$ C、 $105 °$ D、 $110 °$

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5. 抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 4$ 与坐标轴的交点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 不等式组 ${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{3 x + 1}{2} \leq - \frac{5}{12}, \\ 3 (x - 1) + 1 > 5 x - 2 (1 - x) . \end{cases}$ 的解集为（）

A、 $- \frac{1}{2} < x < 0$ B、 $- \frac{1}{2} < x \leq 0$ C、 $- \frac{1}{2} \leq x < 0$ D、 $- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$

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7. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为 $a, b$ .那么方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 有解的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{19}{36}$

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8. 欣欣服装店某天用相同的价格 $a (a > 0)$ 卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）

A、盈利 B、亏损 C、不盈不亏 D、与售价 $a$ 有关

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9. 如果函数 $y = k x + b$ （ $k, b$ 是常数）的图象不经过第二象限，那么 $k, b$ 应满足的条件是（）

A、 $k \geq 0$ 且 $b \leq 0$ B、 $k > 0$ 且 $b \leq 0$ C、 $k \geq 0$ 且 $b < 0$ D、 $k > 0$ 且 $b < 0$

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10. 如图， $Rt △ O C B$ 的斜边在 $y$ 轴上， $O C = \sqrt{3}$ ，含 $30 °$ 角的顶点与原点重合，直角顶点 $C$ 在第二象限，将 $Rt △ O C B$ 绕原点顺时针旋转 $120 °$ 后得到 $△ O C^{'} B^{'}$ ，则 $B$ 点的对应点 $B^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(\sqrt{3} ， - 1)$ B、 $(1 ， - \sqrt{3})$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(\sqrt{3} ， 0)$

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11. 下列运算不正确的是（）

A、 B、 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + y z + z x = \frac{1}{2} {(x + y + z)}^{2}$ C、 $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = x^{3} + y^{3}$ D、 ${(x - y)}^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$

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12. 如图， $△ A B C$ 内心为 $I$ ，连接 $A I$ 并延长交 $△ A B C$ 的外接圆于 $D$ ，则线段 $D I$ 与 $D B$ 的关系是（）

A、 $D I = D B$ B、 $D I > D B$ C、 $D I < D B$ D、不确定

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13. 计算 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + | \sin 30 ° - π^{0} | + \sqrt[3]{- \frac{27}{8}} =$ .

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14. 已知 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (3 k + 1) x + 2 k^{2} + 1 = 0$ 的两个不相等实数根，且满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 8 k^{2}$ ，则 $k$ 的值为.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象与等边三角形 $O A B$ 的边 $O A$ ， $A B$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，且 $O M = 2 M A$ ，若 $A B = 3$ ，那么点 $N$ 的横坐标为.

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16. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为2，以 $A$ 为圆心，1为半径作圆分别交 $A B ， A C$ 边于 $D ， E$ ，再以点 $C$ 为圆心， $C D$ 长为半径作圆交 $B C$ 边于 $F$ ，连接 $E ， F$ ，那么图中阴影部分的面积为.

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17. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a ， b ， c$ 为常数）的顶点为 $P$ ，且抛物线经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ ， $C (- 2 ， n) (1 < m < 3 ， n < 0)$ .下列结论：
① $a b c > 0$ ，② $3 a + c < 0$ ，③ $a (m - 1) + 2 b > 0 ，$ ④ $a = - 1$ 时，存在点 $P$ 使 $△ P A B$ 为直角三角形.其中正确结论的序号为.

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三、解答题：共69分。

18. 先化简，再求值：
${(\frac{a + b}{a - b})}^{2} \cdot \frac{2 a - 2 b}{3 a + 3 b} - \frac{4 a^{2}}{a^{2} - b^{2}} \div \frac{3 a}{b}$ ，其中 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$ .

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19. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， B C = 3 ， A C = 2 \sqrt{13}$ .

(1)、求平行四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求证： $B D ⊥ B C$ .

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20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图.其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据.

(1)、求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；

(2)、根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；

(3)、若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

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21. 已知锐角 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，半径为 $R$ .

(1)、求证： $\frac{A C}{\sin B} = 2 R$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 中 $∠ A = 45 ° ， ∠ B = 60 ° ， A C = \sqrt{3}$ ，求 $B C$ 的长及 $\sin C$ 的值.

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22. 如图，为了测量一栋楼的高度 $O E$ ，小明同学先在操场上 $A$ 处放一面镜子，向后退到 $B$ 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 $E$ ；再将镜子放到 $C$ 处，然后后退到 $D$ 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 $E$ （ $O ， A ， B ， C ， D$ 在同一条直线上）.测得 $A C = 2 m$ ， $B D = 2.1 m$ ，如果小明眼睛距地面高度 $B F ， D G$ 为 $1.6 m$ ，试确定楼的高度 $O E$ .

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23. 为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格 $m$ （元/公斤）与第 $x$ 天之间满足 $m = {\begin{cases} 3 x + 15 (1 \leq x \leq 15) ， \\ - x + 75 (15 < x \leq 30) . \end{cases}$ （ $x$ 为正整数），销售量 $n$ （公斤）与第 $x$ 天之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.

(1)、求销售量 $n$ 与第 $x$ 天之间的函数关系式；

(2)、求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润 $y$ 与第 $x$ 天之间的函数关系式；（日销售利润=日销售额-日维护费）

(3)、求日销售利润 $y$ 的最大值及相应的 $x$ .

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 顶点 $(2 ， - 1)$ ，经过点 $(0 ， 3)$ ，且与直线 $y = x - 1$ 交于 $A ， B$ 两点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若在抛物线上恰好存在三点 $Q ， M ， N$ ，满足 $S_{△ Q A B} = S_{△ M A B} = S_{△ N A B} = S$ ，求 $S$ 的值；

(3)、在 $A ， B$ 之间的抛物线弧上是否存在点 $P$ 满足 $∠ A P B = 90 °$ ？若存在，求点 $P$ 的横坐标，若不存在，请说明理由.
(坐标平面内两点 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 之间的距离 $M N = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ）

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