江西省上饶市“山江湖”协作体2018-2019学年高二下学期理数第一次月考试卷

试卷更新日期：2019-06-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 3 - i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 函数 $y = e^{x} sin 2 x$ 的导数为（）

A、 $y'$ ＝2 $e^{x}$ $cos 2 x$ B、 $y'$ ＝ $e^{x}$ $(sin 2 x + 2 cos 2 x)$ C、 $y'$ ＝2 $e^{x}$ $(sin 2 x + cos 2 x)$ D、 $y'$ ＝ $e^{x}$ $(2 sin 2 x + cos 2 x)$

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3. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 9$ 前三项和为 $S_{3} = \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x$ ，则公比q的值是（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- \frac{1}{2}$ D、-1或 $- \frac{1}{2}$

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4. 已知函数 $y = f (x)$ ，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像如图所示，则 $y = f (x)$ （）

A、在 $(- \infty ， 0)$ 上为减少的 B、在 $x = 0$ 处取极小值 C、在 $x = 2$ 处取极大值 D、在 $(4 ， + \infty)$ 上为减少的

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5. 直线 $y = 4 x$ 与曲线 $y = x^{3}$ 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2$

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6. 设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{2} + 2 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (2)$ ＝（）

A、0 B、－4 C、－2 D、2

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7. 函数 $f (x) = \frac{e^{| x |}}{3 x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = 10 sin x + \frac{1}{6} x^{3}$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $n x - y = 0$ 平行，则二项式 $(1 + x + x^{2}) {(1 - x)}^{n}$ 展开式中 $x^{4}$ 的系数为（）

A、120 B、140 C、135 D、100

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9. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在D上可导，即 $f^{'} (x)$ 存在，且导函数 $f^{'} (x)$ 在D上也可导，则称 $f (x)$ 在D上存在二阶导函数，记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}$ ，若 $f^{″} (x) < 0$ 在D上恒成立，则称 $f (x)$ 在D上为凸函数。以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上不是凸函数的是（）

A、 $f (x) = sin x + cos x$ B、 $f (x) = ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = - x e^{- x}$

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = ln \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ ，对任意 $a \in R$ ，存在 $b \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (a) = g (b)$ ，则 $b - a$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 1$ B、 $e^{2} - \frac{1}{2}$ C、 $2 + ln 2$ D、 $2 - ln 2$

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11. 已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ，当 $x \neq 0$ 时， $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} > 0$ ，若 $a = sin 1 \cdot f (sin 1) ， b = - 3 f (- 3) ， c = ln 3 f (ln 3)$ ，则下列关于 $a ， b ， c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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12. 已知函数 $f (x) = ln x + (a - 2) x - 2 a + 4 (a > 0)$ ，若有且只有两个整数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) > 0$ ，且 $f (x_{2}) > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(ln 3 ， 2)$ B、 $[0 ， 2 - ln 3)$ C、 $(0 ， 2 - ln 3)$ D、 $(0 ， 2 - ln 3]$

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二、填空题

13. $| \frac{3 - 4 i}{5 i} |$ = ．

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14. 设 $y = f (x)$ 是二次函数，方程 $f (x) = 0$ 有两个相等的实根，且 $f^{'} (x) = 2 x + 2$ ，则函数 $y = f (x)$ 的解析式为．

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15. 已知直线 $y = k x - 2$ 与曲线 $y = x ln x$ 相切，则实数 $k$ 的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 m x^{2} + 3 (m + n) x + 1$ 的两个极值点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} \in (0 ， 1) ， x_{2} \in (1 ， + \infty)$ ，若存在点 $P (m ， n)$ 在函数 $y = {log}_{a} (x + 4) (a > 1)$ 的图象上，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 实数m取什么值时，复数 $z = \frac{m (m - 2)}{m - 1} + (m^{2} + 2 m - 3) i$ 是：

(1)、纯虚数；

(2)、实数.

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18. 计算下列定积分

(1)、 $\int_{0}^{1} (2 x + e^{x}) d x$

(2)、 $\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} (2 {cos}^{2} \frac{x}{2} + tan x) d x$

(3)、 $\int_{- 1}^{1} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, 6)$ 处的切线方程；

(2)、直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，且经过原点，求直线 $l$ 的方程及切点坐标．

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20. 如图，在半径为 $10 \sqrt{3} c m$ 的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为 $V$ $(c m^{3})$ ．

(1)、按下列要求建立函数关系式：
①设 $A D = x c m$ ，将 $V$ 表示为 $x$ 的函数；

②设 $∠ A O D = θ$ （ $r a d$ ），将 $V$ 表示为 $θ$ 的函数；

(2)、请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

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21. 已知函数 $f (x) = a ln x + x^{2}$ ( $a$ 为实常数) ．

(1)、当 $a = - 4$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上的最大值及相应的 $x$ 值；

(2)、当 $x \in [1 ， e]$ 时，讨论方程 $f (x) = 0$ 根的个数．

(3)、若 $a > 0$ ，且对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， e]$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq | \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} |$ ，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{a}{2} x^{2} + (a - 1) x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a \geq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围，并证明 $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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