山东省德州市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-06-26 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的倒数是（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $1$

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2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 据国家统计局统计，我国 $2018$ 年国民生产总值（ $G D P$ ）为 $900300$ 亿元．用科学记数法表示 $900300$ 亿是（）

A、 $9.003 \times 10^{12}$ B、 $90.03 \times 10^{12}$ C、 $0.9003 \times 10^{14}$ D、 $9.003 \times 10^{13}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2 a)}^{2} = - 4 a^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(a^{5})}^{2} = a^{7}$ D、 $(- a + 2) (- a - 2) = a^{2} - 4$

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5. 若函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则函数 $y = k x + b$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{array}$ 的所有非负整数解的和是（）

A、 $10$ B、 $7$ C、 $6$ D、 $0$

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7. 下列命题是真命题的是（）

A、两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D、两条直线被第三条直线所截，内错角相等

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8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 $4.5$ 尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余 $1$ 尺，问木长多少尺，现设绳长 $x$ 尺，木长 $y$ 尺，则可列二元一次方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} x - y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ \frac{1}{2} x - y = 1 \end{array}$

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9. 如图，点 $O$ 为线段 $B C$ 的中点，点 $A$ ， $C$ ， $D$ 到点 $O$ 的距离相等，若 $∠ A B C = 40 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数是（）

A、 $130 °$ B、 $140 °$ C、 $150 °$ D、 $160 °$

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10. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $1$ 的卡片，乙中有三张标有数字 $1$ ， $2$ ， $3$ 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为 $a$ ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 $b$ ．若 $a$ ， $b$ 能使关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 在下列函数图象上任取不同两点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，一定能使 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 成立的是（）

A、 $y = 3 x - 1 (x < 0)$ B、 $y = - x^{2} + 2 x - 1 (x > 0)$ C、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{x} (x > 0)$ D、 $y = x^{2} - 4 x - 1 (x < 0)$

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12. 如图，正方形 $A B C D$ ，点 $F$ 在边 $A B$ 上，且 $A F ： F B = 1 ： 2$ ， $C E ⊥ D F$ ，垂足为 $M$ ，且交 $A D$ 于点 $E$ ， $A C$ 与 $D F$ 交于点 $N$ ，延长 $C B$ 至 $G$ ，使 $B G = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $C M$ ．有如下结论：① $D E = A F$ ；② $A N = \frac{\sqrt{2}}{4} A B$ ；③ $∠ A D F = ∠ G M F$ ；④ $S_{Δ A N F} ： S_{四边形 C N F B} = 1 ： 8$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③④

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二、填空题

13. $| x - 3 | = 3 - x$ ，则 $x$ 的取值范围是．

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14. 方程 $\frac{6}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} = 1$ 的解为．

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15. 如图，一架长为 $6$ 米的梯子 $A B$ 斜靠在一竖直的墙 $A O$ 上，这时测得 $∠ A B O = 70 °$ ，如果梯子的底端 $B$ 外移到 $D$ ，则梯子顶端 $A$ 下移到 $C$ ，这时又测得 $∠ C D O = 50 °$ ，那么 $A C$ 的长度约为米．（ $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ）

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16. 已知： $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．例： $[4.8] = 4$ ， $[- 0.8] = - 1$ ．现定义： ${x} = x - [x]$ ，例： ${1.5} = 1.5 - [1.5] = 0.5$ ，则 ${3.9} + {- 1.8} - {1} =$ ．

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17. 如图， $C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $E$ ， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B F}$ ， $C E = 1$ ， $A B = 6$ ，则弦 $A F$ 的长度为．

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18. 如图，点 $A_{1}$ 、 $A_{3}$ 、 $A_{5}$ …在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $A_{2}$ 、 $A_{4}$ 、 $A_{6}$ ……在反比例函数 $y = - \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上， $∠ O A_{1} A_{2} = ∠ A_{1} A_{2} A_{3} = ∠ A_{2} A_{3} A_{4} =$ $\cdot \cdot \cdot = ∠ α = 60 °$ ，且 $O A_{1} = 2$ ，则 $A_{n}$ （ $n$ 为正整数）的纵坐标为．（用含 $n$ 的式子表示）

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三、解答题

19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆 $128$ 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 $608$ 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

(1)、求进馆人次的月平均增长率；

(2)、因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 $500$ 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

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20. 先化简，再求值： $(\frac{2}{m} - \frac{1}{n}) \div (\frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - \frac{5 n}{m})$ $\cdot (\frac{m}{2 n} + \frac{2 n}{m} + 2)$ ，其中 $\sqrt{m + 1} + {(n - 3)}^{2} = 0$ ．

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21. 《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：

90

分及以上为优秀，

80 ～ 89

分为良好，

60 ～ 79

分为及格，

59

分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取

10

名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：

七年级	$80$	$74$	$83$	$63$	$90$	$91$	$74$	$61$	$82$	$62$
八年级	$74$	$61$	$83$	$91$	$60$	$85$	$46$	$84$	$74$	$82$

(1)、根据上述数据，补充完成下列表格．

整理数据：

等级

频数

年级

优秀

良好

及格

不及格

七年级

$2$

$3$

$5$

$0$

八年级

$1$

$4$

$1$

分析数据：

年级	平均数	众数	中位数
七年级	$76$	$74$	$77$
八年级		$74$

(2)、该校目前七年级有

200

人，八年级有

300

人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？

(3)、结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．

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22. 如图， $∠ B P D = 120 °$ ，点 $A$ 、 $C$ 分别在射线 $P B$ 、 $P D$ 上， $∠ P A C = 30 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 $A$ 、 $C$ 两点分别与射线 $P B$ 和 $P D$ 相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

(2)、根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

(3)、求所得的劣弧与线段 $P A$ 、 $P C$ 围成的封闭图形的面积．

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23. 下表中给出

A

，

B

，

C

三种手机通话的收费方式．

收费方式	月通话费/元	包时通话时间/ $h$	超时费/（元/ $\min$ ）
$A$	$30$	$25$	$0.1$
$B$	$50$	$50$	$0.1$
$C$	$100$	不限时

(1)、设月通话时间为

x

小时，则方案

A

，

B

，

C

的收费金额

y_{1}

，

y_{2}

，

y_{3}

都是

x

的函数，请分别求出这三个函数解析式．

(2)、填空：

若选择方式 $A$ 最省钱，则月通话时间 $x$ 的取值范围为；

若选择方式 $B$ 最省钱，则月通话时间 $x$ 的取值范围为；

若选择方式 $C$ 最省钱，则月通话时间 $x$ 的取值范围为；

(3)、小王、小张今年

5

月份通话费均为

80

元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．

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24. 如图

(1)、如图1，菱形 $A E G H$ 的顶点 $E$ 、 $H$ 在菱形 $A B C D$ 的边上，且 $∠ B A D = 60 °$ ，请直接写出 $H D ： G C ： E B$ 的结果（不必写计算过程）

(2)、将图1中的菱形 $A E G H$ 绕点 $A$ 旋转一定角度，如图2，求 $H D ： G C ： E B$ ；

(3)、把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且 $A D ： A B = A H ： A E = 1 ： 2$ ，此时 $H D ： G C ： E B$ 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

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25. 如图，抛物线 $y = m x^{2} - \frac{5}{2} m x - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $x_{2} - x_{1} = \frac{11}{2}$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，当 $a \leq x_{1} \leq a + 2$ ， $x_{2} \geq \frac{9}{2}$ 时，均有 $y_{1} \leq y_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、抛物线上一点 $D (1 ， - 5)$ ，直线 $B D$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，动点 $M$ 在线段 $B D$ 上，当 $∠ B D C = ∠ M C E$ 时，求点 $M$ 的坐标．

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