江苏省南通市通州区2019届高三下学期数学四月质量调研检测试卷

试卷更新日期：2019-06-26 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {x | x = 2 n, n \in Z}$ ，则 $A \cap^{} B =$ ．

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2. 已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z_{1} z_{2}$ 的实部为．

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3. 如图是一个算法的伪代码，若输入 $x$ 的值为3时，则输出的 $y$ 的值为．

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4. 某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，则这组数据的方差为．

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5. 设不等式 ${log}_{2} x < 1$ 的解集为 $D$ ，在区间 $[- 3, 5]$ 上随机取一个实数 $x$ ，则 $x \in D$ 的概率为．

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6. 已知圆锥的底面面积为 $2 π$ ，侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，则该圆锥的体积为．

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7. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 0$ ， $S_{3} + S_{4} = 6$ ，则 $a_{5} + a_{6}$ 的值为．

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8. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $tan 2 α = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{sin α + cos α}{sin α - cos α}$ 的值为．

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9. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的右焦点为 $F_{2}$ ，左顶点为 $A$ ，过点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于P，Q两点．若 $AP ⊥ A Q$ ，则双曲线的离心率为．

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10. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x - a) = x^{3} + 1$ ，且对任意实数 $x$ 都有 $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，则 $f (0)$ 的值为．

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11. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $AB=4$ ， $C D = 2$ ， $A D = 3$ ， $2 \vec{DM} = \vec{MC}$ ，若 $\vec{AM} \cdot \vec{BD} = 3$ ，则 $\overset{⇀}{AD} \cdot \overset{⇀}{BC}$ 的值为．

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12. 若 $a, b \in R$ ，且 $a^{2} + 2 a b - 3 b^{2} = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ ABC$ 的外接圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ ， $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ， $A B$ 边的中点 $M$ 关于直线y=x+2的对称点为 $N$ ，则线段 $O N$ 长度的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = x ln x$ ， $g (x) = - x^{2} + (a + 12) x + 2 a$ ，若不等式 $f (x) \leq g (x)$ 的解集中恰有两个整数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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二、解答题

15. 已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {sin}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、在 $△ ABC$ 中，已知 $C$ 为锐角， $f (\frac{C}{2}) = - \frac{1}{2}$ ， $A B = 3$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，求边 $BC$ 的长．

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16. 如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $AD = 2$ ， $AB = 1$ ， $∠ BAD = 60^{°}$ ，平面 $PCD ⊥$ 平面 $ABCD$ ，点 $M$ 为 $P C$ 上一点．

(1)、若 $PA ∥$ 平面 $MBD$ ，求证：点 $M$ 为 $P C$ 中点；

(2)、求证：平面 $MBD ⊥$ 平面 $PCD$ ．

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17. 某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为 $x$ 元/件，其中 $10 ⩽ x ⩽ 30$ ，且 $x \in N^{*}$ ．根据市场调查，当 $10 ⩽ x ⩽ 15$ ，且 $x \in N^{*}$ 时，每月的销售量 $h$ （万件）与 ${(18 - x)}^{2}$ 成正比；当 $15 ⩽ x ⩽ 30$ ，且 $x \in N^{*}$ 时，每月的销售量 $h$ （万件）与 $1 - \frac{10}{x}$ 成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件．

(1)、求该公司的月利润 $f (x)$ （万件）与每件产品的售价 $x$ （元）的函数关系式；

(2)、当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润 $f (x)$ 最大？并求出最大值．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的短轴长为2，椭圆 $C$ 上的点到右焦点距离的最大值为 $2 + \sqrt{3}$ ．过点 $P (m ， 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点（ $m > 0$ ， $k > 0$ ）， $D$ 是线段 $A B$ 的中点，直线 $O D$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $m = 1$ ， $\overset{⇀}{OM} + 3 \overset{⇀}{OD} = \overset{⇀}{0}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若存在直线 $l$ ，使得四边形 $O A N B$ 为平行四边形，求 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = ln x - a x + 1$ ， $g (x) = x (e^{x} - x)$ ．

(1)、若直线 $y = 2 x$ 与函数 $f (x)$ 的图象相切，求实数 $a$ 的值；

(2)、若存在 $x_{1} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{2} \in (- \infty ， + \infty)$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = 0$ ，且 $x_{1} - x_{2} > 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = - 1$ 时，求证： $f (x) \leq g (x) + x^{2}$ ．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项为2．若 ${(\frac{1}{2} S_{m + n} + 1)}^{2} = a_{2 m} (1 + \frac{1}{2} S_{2 n})$ 对任意的正整数 $m$ ， $n$ 恒成立．

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ；

(2)、求证： ${a_{n}}$ 是等比数列；

(3)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} - {(- 1)}^{n}$ ，若数列 $b_{n_{1}}$ ， $b_{n_{2}}$ ，…， $b_{n_{t}}$ （ $n_{1} < n_{2} < \dots < n_{t}$ ， $t \in N^{*}$ ）为等差数列，求 $t$ 的最大值．

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21. 已知矩阵 $M = [\begin{matrix} a & b \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$ 的两个特征值为 $λ_{1} = 2$ ， $λ_{2} = 3$ ．求直线 $l ： x - y + 2 = 0$ 在矩阵 $M$ 对应变换作用下的直线 $l^{'}$ 的方程．

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22. 在极坐标系中，已知圆 $C$ 的方程为 $ρ = 2 sin θ$ ，直线 $l$ 的方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = a$ ．若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $a$ 的值．

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23. 设函数 $f (x) = | x + 1 | - | x - 4 | - a$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若存在 $x \in R$ ，使 $f (x) \geq \frac{4}{a} + 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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24. 已知动圆过点 $S (2 ， 0)$ ，且在 $y$ 轴上截得的弦长为4．

(1)、求动圆圆心 $C$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $S$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $T$ ，设 $\overset{⇀}{TA} = λ \overset{⇀}{SA}$ ， $\overset{⇀}{TB} = μ \overset{⇀}{SB}$ ，求证： $λ + μ$ 是定值．

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25. 设 ${(1 + m x)}^{2020} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2020} x^{2020} (m \in R)$ ．

(1)、若 $m = 2$ ，求 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2020 a_{2020}$ 的值；

(2)、若 $m = - 1$ ，求 $S = \sum_{i = 0}^{2020} \frac{1}{a_{i}}$ 的值．

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