浙江省舟山市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-06-25 类型：中考真卷

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一、选择题

1. $- 2019$ 的相反数是（）

A、2019 B、-2019 C、 $\frac{1}{2019}$ D、- $\frac{1}{2019}$

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2. $2019$ 年 $1$ 月 $3$ 日 $10$ 时 $26$ 分，“嫦娥四号”探测器飞行约 $380000$ 千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据 $380000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $38 \times 10^{4}$ B、 $3.8 \times 10^{4}$ C、 $3.8 \times 10^{5}$ D、 $0.38 \times 10^{6}$

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3. 如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. $2019$ 年 $5$ 月 $26$ 日第 $5$ 届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（）

A、签约金额逐年增加 B、与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多 C、签约金额的年增长速度最快的是2016年 D、2018年的签约金额比2017年降低了22.98%

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5. 如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则 $a$ 可以是（）

$\sqrt[3]{8}$

2⁰

a

$| - 2 |$

A、 $\tan 60^{\circ}$ B、-1 C、0 D、 $1^{2019}$

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6. 已知四个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，若 $a > b$ ， $c > d$ ，则（）

A、 $a + c > b + d$ B、 $a - c > b - d$ C、 $a c > b d$ D、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

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7. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹 $x$ 两，牛每头 $y$ 两，根据题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} 4 x + 6 y = 38 \\ 3 x + 5 y = 48 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 4 y + 6 x = 48 \\ 3 y + 5 x = 38 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 4 x + 6 y = 48 \\ 5 x + 3 y = 38 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 4 x + 6 y = 48 \\ 3 x + 5 y = 38 \end{cases}$

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9. 如图，在直角坐标系中，已知菱形 $O A B C$ 的顶点 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 3)$ ．作菱形 $O A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ，再作图形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于点 $O$ 的中心对称图形 $O A^{″} B^{″} C^{″}$ ，则点 $C$ 的对应点 $C^{″}$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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10. 小飞研究二次函数 $y = - {(x - m)}^{2} - m + 1$ ( $m$ 为常数)性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线 $y = - x + 1$ 上；②存在一个 $m$ 的值，使得函数图象的顶点与 $x$ 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 与点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在函数图象上，若 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} > 2 m$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④当 $- 1 < x < 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围为 $m \geq 2$ 其中错误结论的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{2} - 5 x$ = ．

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12. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为．

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13. 数轴上有两个实数 $a$ ， $b$ ，且 $a$ ＞0， $b$ ＜0， $a$ + $b$ ＜0，则四个数 $a$ ， $b$ ， $- a$ ， $- b$ 的大小关系为（用“＜”号连接）．

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14. 在x²+ +4=0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根。

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15. 如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC^2-BC²= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ AB² ，则tanC=。

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16. 如图，一副含30°和45°角的三角板 $A B C$ 和 $E D F$ 拼合在个平面上，边 $A C$ 与 $E F$ 重合， $A C = 12 c m$ ．当点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A C$ 方向滑动时，点 $F$ 同时从点 $C$ 出发沿射线 $B C$ 方向滑动．当点 $E$ 从点 $A$ 滑动到点 $C$ 时，点 $D$ 运动的路径长为 $c m$ ；连接 $B D$ ，则△ $A B D$ 的面积最大值为 $c m^{2}$ ．

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三、解答题

17. 小明解答“先化简，再求值： $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$ ，其中
$x = \sqrt{3} + 1$ ．”的过程如图．请指出解答过程中错误

步骤的序号，并写出正确的解答过程．

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18. 如图，在矩形 ABCD中，点 E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

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19. 如图，在直角坐标系中，已知点 $B$ (4，0)，等边三角形 $O A B$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上

(1)、求反比例函数的表达式．

(2)、把△ $O A B$ 向右平移 $a$ 个单位长度，对应得到△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ ，当这个函数图象经过△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 一边的中点时，求 $a$ 的值．

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20. 在 6×6 的方格纸中，点 A，B，C 都在格点上，按要求画图：

(1)、在图1中找一个格点D，使以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是平行四边形．

(2)、在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

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21. 在“创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A、B 两小区分别有 500 名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50 名居民成绩进行整理得到部分信息：
【信息一】A 小区 50 名居民成绩的频数直方图如下(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)：

【信息二】上图中，从左往右

第四组的成绩如下

【信息三】A、B 两小区各 50 名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(80 分及以上为优秀)、方差等数据如下(部分空缺)：

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、求A小区50名居民成绩的中位数．

(2)、请估计A小区500名居民成绩能超过平均数的人数．

(3)、请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析 A，B 两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．

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22. 某挖掘机的底座高 $A B = 0.8$ 米，动臂 $B C = 1.2$ 米， $C D = 1.5$ 米， $B C$ 与 $C D$ 的固定夹角∠ $B C D$ =140°．初始位置如图1，斗杆顶点 $D$ 与铲斗顶点 $E$ 所在直线 $D E$ 垂直地面 $A M$ 于点 $E$ ，测得∠ $C D E$ =70°(示意图2)．工作时如图3，动臂 $B C$ 会绕点 $B$ 转动，当点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一直线时，斗杆顶点 $D$ 升至最高点(示意图4)．

（考数据： $\sin 50^{\circ} \approx 0.77$ ， $\cos 50^{\circ} \approx 0.64$ ， $\sin 70^{\circ} \approx 0.94$ ， $\cos 70^{\circ} \approx 0.34$ ， $\sqrt{3 \approx} 1.73$ ）

(1)、求挖掘机在初始位置时动臂 $B C$ 与 $A B$ 的夹角∠ $A B C$ 的度数．

(2)、问斗杆顶点 $D$ 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?

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23. 某农作物的生长率 $p$ 与温度 $t$ ( ${}^{\circ}C$ )有如下关系：如图，当10≤ $t$ ≤25 时可近似用函数 $p = \frac{1}{50} t - \frac{1}{5}$ 刻画；
当25≤ $t$ ≤37 时可近似用函数 $p = - \frac{1}{160} {(t - h)}^{2} + 0.4$ 刻画．

(1)、求 $h$ 的值．

(2)、按照经验，该作物提前上市的天数 $m$ (天)与生长率 $p$ 满足函数关系，部分数据如下：

生长率 $p$

0.2

0.25

0.3

0.35

提前上市的天数 $m$ （天）

0

5

10

15

求：①求 $m$ 关于 $p$ 的函数表达式；

②请用含 $t$ 的代数式表示 $m$

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。（注：农作物上市售出后大鹏暂停使用）

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24. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

(1)、温故：如图1，在△ $A B C$ 中， $A D$ ⊥ $B C$ 于点 $D$ ，正方形 $P Q M N$ 的边 $Q M$ 在 $B C$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，若 BC=a，AD=h，求正方形 $P Q M N$ 的边长(a，h表示)．

(2)、操作：如何能画出这个正方形PQMN呢?
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $B C$ 边上， $N^{'}$ 在△ $A B C$ 内，然后连结 $B N^{'}$ 并延长交 $A C$ 于点N，画 $N M$ ⊥ $B C$ 于点 $M$ ， $N P$ ⊥ $N M$ 交 $A B$ 于点 $P$ ， $P Q$ ⊥ $B C$ 于点 $Q$ ，得到四边形P $P Q M N$ ．

推理：证明图2中的四边形 $P Q M N$ 是正方形．

(3)、拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线截取 $N E = N M$ ，连结 $E Q$ ， $E M$ (如图3)．当∠ $Q E M$ =90°时，求“波利亚线”BN的长（用a、h表示）．

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生长率 $p$	0.2	0.25	0.3	0.35
提前上市的天数 $m$ （天）	0	5	10	15

$\sqrt[3]{8}$	2⁰
a	$\| - 2 \|$