甘肃省兰州市第四片区2018-2019学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-06-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若等腰三角形的顶角为 $50 °$ ，则它的底角度数为（）

A、40 B、50 C、60 D、65

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3. 把不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + 1 > - 1 \\ x + 2 \leq 3 \end{matrix}$ 的解集表示在数轴上，下列不符合题意的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（）

A、（﹣5，﹣2） B、（2，﹣5） C、（﹣2，5） D、（﹣2，﹣5）

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5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）

A、15° B、17.5° C、20° D、22.5°

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6. 下列说法正确的是（　　）

A、平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分 C、在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，纵坐标加2 D、在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行

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7. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB₁C₁的位置，使得点C、A、B₁在同一条直线上，那么旋转角等于（）

A、55° B、70° C、125° D、145°

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8. 已知不等式组 ${\begin{matrix} x - a \geq 0 \\ - 2 x > - 4 \end{matrix}$ 有解，则 $a$ 的取值范围为（）

A、a>-2 B、a≥-2 C、a<2 D、a≥2

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9. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）

A、40° B、45° C、50° D、60°

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10. 如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为（）

A、90° B、84° C、64° D、58°

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11. 如图， $O$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将线段 $B O$ 以点 $B$ 为旋转中心逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $B O'$ ，下列结论：
① $△ B O' A$ 可以由 $△ B O C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到；②点 $O$ 与 $O'$ 的距离为 $4$ ；③四边形 $A O B O'$ 的面积为 $6 + 3 \sqrt{3}$ ④ $∠ A O B = 150^{\circ}$ ；⑤ $S_{△ A O C} + S_{△ A O B} = 6 + \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ .

其中正确的结论是（）

A、②③④⑤ B、①③④⑤ C、①②③⑤ D、①②④⑤

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二、填空题

12. 一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为。

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 30^{\circ}$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $C D = 6$ ，则 $B D =$ .

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14. 不等式 $x - 2 > 7$ 的解集为.

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15. 一次函数 y=kx+b 的图像如图所示，则当kx+b>0 时，x 的取值范围为.

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16. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为．

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三、解答题

17. 解不等式 $7 x - 3 \leq 9 x + 2$ ，并把解表示在数轴上.

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18. 解不等式组 ${\begin{matrix} \frac{1}{2} (x - 1) \leq 1, \\ x - 3 < 3 x + 1, \end{matrix}$

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ C A B = 60^{\circ}$ .

(1)、作边 $A B$ 的中垂线交 $B C$ 边于点 $E$ ，交 $A B$ 边于点 $D$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

(2)、连接 $A E$ ，若 $C E = 4$ ，求 $A E$ 的长.

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 1 ， - 2)$ ， $B (- 2 ， - 4)$ ， $C (- 4 ， - 1)$ .

①把 $△ A B C$ 向上平移 $3$ 个单位后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

②已知点 $A$ 与点 $A_{2} (2 ， 1)$ 关于直线 $l$ 成轴对称，请画出直线 $l$ 及 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

③在 $x$ 轴上存在一点 $P$ ，满足点 $P$ 到点 $A$ 与点 $C$ 距离之和最小，请直接写出 $P$ 点的坐标.

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 15^{\circ}$ ， $A C = 2 c m$ ，分别以 $A$ 、 $B$ 两点为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧分别相交于 $E$ 、 $F$ 两点，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $B D$ 的长.

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22. 已知 $x = 3$ 是关于 $x$ 的不等式 $3 x - \frac{ax + 2}{2} > \frac{2 x}{3}$ 的解，求 $a$ 的取值范围。

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $B D = B A$ ，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $C E = C A$ .求 $∠ D A E$ 的度数.

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24. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 10$ ，角平分线 $A D = 12$ ，点 $E$ 是 $A C$ 中点，求 $D E$ 的长.

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25. 近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备，已知：购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元.

(1)、求每台A种、B种设备各多少万元？

(2)、根据学校实际，需购进A种和B种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种设备多少台？

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26. 如图所示， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ .求证： $B F = 2 C F$ .

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27. 如图，在 $△ ABC$ 中， $AC = BC$ ， $∠ C = 90^{\circ}$ ，AD是 $△ ABC$ 的角平分线， $DE ⊥ AB$ ，垂足为E.

(1)、求证： $CD = BE$ ；

(2)、已知 $CD = 2$ ，求AC的长；

(3)、求证： $AB = AC + CD$ .

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28.

(1)、如图 $1$ ，已知点 $P$ 在正三角形 $A B C$ 的边 $B C$ 上，以 $A P$ 为边作正三角形 $A P Q$ ，连接 $C Q$ .

①求证： $△ A B P ≅ △ A C Q$ ；

②若 $A B = 6$ ，点 $D$ 是 $A Q$ 的中点，直接写出当点 $P$ 由点 $B$ 运动到点 $C$ 时，点 $D$ 运动路线的长. 28.

(2)、已知， $△ E F G$ 中， $E F = E G = 13$ ， $F G = 10$ .如图 $2$ ，把 $△ E F G$ 绕点 $E$ 旋转到 $△ E F^{'} G^{'}$ 的位置，点 $M$ 是边 $E F^{'}$ 与边 $F G$ 的交点，点 $N$ 在边 $E G^{'}$ 上且 $E N = E M$ ，连接 $G N$ .求点 $E$ 到直线 $G N$ 的距离.

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