浙江省嘉兴市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-06-24 类型：中考真卷

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一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．）

1. $- 2019$ 的相反数是（）

A、2019 B、-2019 C、 $\frac{1}{2019}$ D、- $\frac{1}{2019}$

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2. $2019$ 年 $1$ 月 $3$ 日 $10$ 时 $26$ 分，“嫦娥四号”探测器飞行约 $380000$ 千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据 $380000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $38 \times 10^{4}$ B、 $3.8 \times 10^{4}$ C、 $3.8 \times 10^{5}$ D、 $0.38 \times 10^{6}$

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3. 如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. $2019$ 年 $5$ 月 $26$ 日第 $5$ 届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（）

A、签约金额逐年增加 B、与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多 C、签约金额的年增长速度最快的是2016年 D、2018年的签约金额比2017年降低了22.98%

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5. 如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则 $a$ 可以是（）

$\sqrt[3]{8}$

2⁰

a

$| - 2 |$

A、 $\tan 60^{\circ}$ B、-1 C、0 D、 $1^{2019}$

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6. 已知四个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，若 $a > b$ ， $c > d$ ，则（）

A、 $a + c > b + d$ B、 $a - c > b - d$ C、 $a c > b d$ D、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

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7. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹 $x$ 两，牛每头 $y$ 两，根据题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} 4 x + 6 y = 38 \\ 3 x + 5 y = 48 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 4 y + 6 x = 48 \\ 3 y + 5 x = 38 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 4 x + 6 y = 48 \\ 5 x + 3 y = 38 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 4 x + 6 y = 48 \\ 3 x + 5 y = 38 \end{cases}$

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9. 如图，在直角坐标系中，已知菱形 $O A B C$ 的顶点 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 3)$ ．作菱形 $O A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ，再作图形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于点 $O$ 的中心对称图形 $O A^{″} B^{″} C^{″}$ ，则点 $C$ 的对应点 $C^{″}$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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10. 小飞研究二次函数 $y = - {(x - m)}^{2} - m + 1$ ( $m$ 为常数)性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线 $y = - x + 1$ 上；②存在一个 $m$ 的值，使得函数图象的顶点与 $x$ 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 与点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在函数图象上，若 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} > 2 m$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④当 $- 1 < x < 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围为 $m \geq 2$ 其中错误结论的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题 (本题有6小题，每题4分，共24分)

11. 分解因式： $x^{2} - 5 x$ = ．

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12. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为．

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13. 数轴上有两个实数 $a$ ， $b$ ，且 $a$ ＞0， $b$ ＜0， $a$ + $b$ ＜0，则四个数 $a$ ， $b$ ， $- a$ ， $- b$ 的大小关系为（用“＜”号连接）．

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14. 如图，在⊙O中，弦 $A B = 1$ ，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．

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15. 在 $x^{2} + () + 4 = 0$ 的括号中添加一个关于 $x$ 的一次项，使方程有两个相等的实数根

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16. 如图，一副含30°和45°角的三角板 $A B C$ 和 $E D F$ 拼合在个平面上，边 $A C$ 与 $E F$ 重合， $A C = 12 c m$ ．当点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A C$ 方向滑动时，点 $F$ 同时从点 $C$ 出发沿射线 $B C$ 方向滑动．当点 $E$ 从点 $A$ 滑动到点 $C$ 时，点 $D$ 运动的路径长为 $c m$ ；连接 $B D$ ，则△ $A B D$ 的面积最大值为 $c m^{2}$ ．

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三、解答题 (本题有8小题，第 17~19题每题6分，第

17. 小明解答“先化简，再求值： $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$ ，其中
$x = \sqrt{3} + 1$ ．”的过程如图．请指出解答过程中错误

步骤的序号，并写出正确的解答过程．

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18. 如图，在矩形 ABCD中，点 E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

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19. 如图，在直角坐标系中，已知点 $B$ (4，0)，等边三角形 $O A B$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上

(1)、求反比例函数的表达式．

(2)、把△ $O A B$ 向右平移 $a$ 个单位长度，对应得到△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ ，当这个函数图象经过△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 一边的中点时，求 $a$ 的值．

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20. 在 6×6 的方格纸中，点 A，B，C 都在格点上，按要求画图：

(1)、在图1中找一个格点D，使以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是平行四边形．

(2)、在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

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21. 在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A、B 两小区分别有 500 名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50 名居民成绩进行整理得到部分信息：
【信息一】A 小区 50 名居民成绩的频数直方图如下(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)：

【信息二】上图中，从左往右

第四组的成绩如下

75 75 79 79 79 79 80 80

81 82 82 83 83 84 84 84

【信息三】A、B 两小区各 50 名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(80 分及以上为优秀)、方差等数据如下(部分空缺)：

小区平均数中位数众数优秀率方差

A 75.1 △ 79 40% 277

B 75.1 77 76 45% 211

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、求A小区50名居民成绩的中位数．

(2)、请估计A小区500名居民成绩能超过平均数的人数．

(3)、请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析 A，B 两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．

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22. 某挖掘机的底座高 $A B = 0.8$ 米，动臂 $B C = 1.2$ 米， $C D = 1.5$ 米， $B C$ 与 $C D$ 的固定夹角∠ $B C D$ =140°．初始位置如图1，斗杆顶点 $D$ 与铲斗顶点 $E$ 所在直线 $D E$ 垂直地面 $A M$ 于点 $E$ ，测得∠ $C D E$ =70°(示意图2)．工作时如图3，动臂 $B C$ 会绕点 $B$ 转动，当点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一直线时，斗杆顶点 $D$ 升至最高点(示意图4)．

（考数据： $\sin 50^{\circ} \approx 0.77$ ， $\cos 50^{\circ} \approx 0.64$ ， $\sin 70^{\circ} \approx 0.94$ ， $\cos 70^{\circ} \approx 0.34$ ， $\sqrt{3 \approx} 1.73$ ）

(1)、求挖掘机在初始位置时动臂 $B C$ 与 $A B$ 的夹角∠ $A B C$ 的度数．

(2)、问斗杆顶点 $D$ 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?

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23. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

(1)、温故：如图1，在△ $A B C$ 中， $A D$ ⊥ $B C$ 于点 $D$ ，正方形 $P Q M N$ 的边 $Q M$ 在 $B C$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，若 $B C = 6$ ， $A D = 4$ ，求正方形 $P Q M N$ 的边长．

(2)、操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ $A B C$ ，在 $A B$ 上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $B C$ 边上， $N^{'}$ 在△ $A B C$ 内，连结 $B N^{'}$ 并延长交 $A C$ 于点N，画 $N M$ ⊥ $B C$ 于点 $M$ ， $N P$ ⊥ $N M$ 交 $A B$ 于点 $P$ ， $P Q$ ⊥ $B C$ 于点 $Q$ ，得到四边形P $P Q M N$ ．小波把线段 $B N$ 称为“波利亚线”．
推理：证明图2中的四边形 $P Q M N$ 是正方形．

(3)、拓展：在(2)的条件下，于波利亚线 $B N$ 上截取 $N E = N M$ ，连结 $E Q$ ， $E M$ (如图3)．当 $\tan ∠ N B M = \frac{3}{4}$ 时，猜想∠ $Q E M$ 的度数，并尝试证明．

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24. 某农作物的生长率 $p$ 与温度 $t$ ( ${}^{\circ}C$ )有如下关系：如图1，当10≤ $t$ ≤25 时可近似用函数 $p = \frac{1}{50} t - \frac{1}{5}$ 刻画；
当25≤ $t$ ≤37 时可近似用函数 $p = - \frac{1}{160} {(t - h)}^{2} + 0.4$ 刻画．

(1)、求 $h$ 的值．

(2)、按照经验，该作物提前上市的天数 $m$ (天)与生长率 $p$ 满足函数关系：

生长率 $p$

0.2

0.25

0.3

0.35

提前上市的天数 $m$ （天）

0

5

10

15

①请运用已学的知识，求 $m$ 关于 $p$ 的函数表达式；

②请用含 $t$ 的代数式表示 $m$

(3)、天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 $w$ (元)与大棚温度 $t$ ( ${}^{\circ}C$ )之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

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小区	平均数	中位数	众数	优秀率	方差
A	75.1	△	79	40%	277
B	75.1	77	76	45%	211

生长率 $p$	0.2	0.25	0.3	0.35
提前上市的天数 $m$ （天）	0	5	10	15

$\sqrt[3]{8}$	2⁰
a	$\| - 2 \|$