吉林省长春市南关区2019届数学中考一模试卷

试卷更新日期：2019-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 据统计， $2019$ 年春运全国铁路累计发送旅客约 $410000000$ 人次， $410000000$ 这个数用科学记数法表示为（）

A、 $0.41 \times 10^{9}$ B、 $4.1 \times 10^{9}$ C、 $4.1 \times 10^{8}$ D、 $41 \times 10^{7}$

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2. 不等式 $4 - 2 x \leq 0$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图是由 $5$ 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交边 $B C$ 于点 $D$ ，若 $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 55 °$ ，则 $∠ A D C$ 的大小为（）

A、 $80 °$ B、 $85 °$ C、 $95 °$ D、 $100 °$

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5. 如图，某超市自动扶梯的倾斜角 $∠ A B C$ 为 $31 °$ ，扶梯长 $A B$ 为 $9$ 米，则扶梯高 $A C$ 的长为（）

A、 $9 sin 31 °$ 米 B、 $9 cos 31 °$ 米 C、 $9 tan 31 °$ 米 D、 $9$ 米

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6. 已知 $Δ A B C$ $(A C < B C)$ ，用尺规作图的方法在 $B C$ 上确定一点 $P$ ，使 $P A + P C = B C$ ，下列作图正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，轴.若 $A B = A C$ 且BC∥x轴，点 $A$ 、 $C$ 的横坐标分别为 $2$ 、 $6$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $12$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $12$

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二、填空题

8. 比较大小： $\sqrt[]{5}$ 2.（填“＞”、“＝”、“＜”）

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9. 计算： $a^{3} \cdot a^{4}$ .

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10. 若关于x的一元二次方程x²+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为．

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11. 利用标杆 $C D$ 测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆 $C D$ 的高为 $1.5$ 米，测得 $D E = 2$ 米， $B D = 18$ 米，则建筑物的高 $A B$ 为米.

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12. 如图，在 $Δ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，将 $Δ A C B$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转，当 $C B$ 经过点 $D$ 时得到 $Δ A_{1} C B_{1}$ ，若 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $D B_{1}$ 的长为.

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三、解答题

13. 先化简，再求值： ${(x - 1)}^{2} + 2 x - 3$ ，其中 $x = \sqrt{6}$ .

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14. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ，除所标数字不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再随机摸出一个小球.用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标数字之和大于 $4$ 的概率.

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15. 图①、图②均是边长为 $1$ 的小正方形组成的 $6 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上，按下列要求画出顶点均在格点上的四边形.

(1)、在图①中确定顶点 $D$ ，并画出以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为顶点的四边形，使其为轴对称图形.

(2)、在图②中确定顶点 $E$ ，并画出以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（图①、图②中各画出一个符合条件的四边形即可）

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16. 如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径， $B C$ 切⊙ $O$ 于点 $B$ ， $O C$ 交⊙ $O$ 于点 $D$ 的半径为 $3$ ， $∠ C = 20 °$ .

(1)、求 $∠ A$ 的度数；

(2)、求 $\overset{⌢}{A D}$ 的长.(结果保留 $π$ )

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17. 某地区由于龙卷风出现毁坏性灾害，一自愿者协会紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种救灾物品送往该地区.已知甲种物品每件的价格比乙种物品每件的价格高 $10$ 元，用 $700$ 元购买甲种物品的件数与用 $600$ 元购买乙种物品的件数相同.

(1)、求甲、乙两种救灾物品每件的价格.

(2)、经调查，该地区所需乙种物品的件数是甲种物品件数的 $2$ 倍，自愿者协会按此比例购买 $1500$ 件物品，需筹集资金多少元？

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18. 某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛.七、八年级各有

150

人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取

10

名学生的成绩，数据如下：

七年级 $88$ $94$ $90$ $94$ $84$ $94$ $99$ $94$ $99$ $100$

八年级 $84$ $93$ $88$ $94$ $93$ $98$ $93$ $98$ $97$ $99$

(1)、整理数据按如下分段整理本数据并补全表格：

人数

成绩 $x$

年级

$80 \leq x < 85$

$85 \leq x < 90$

$90 \leq x < 95$

$95 \leq x \leq 100$

七年级

$1$

$5$

$3$

八年级

$4$

分析数据补全下列表格中的统计量：

统计量

年级

平均数

中位数

众数

方差

七年级

$93.6$

$94$

$24.2$

八年级

$93.7$

$93$

$20.4$

(2)、得出结论
估计该校八年级参加这次“汉字听写”大赛成绩低于

90

分的人数.

(3)、你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？并说明理由.（写一条即可）

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19. 甲、乙两车间同时开始加工一批零件，加工一段时间后，甲车间的设备出现故障停产维修设备，乙车间继续加工，甲车间维修好设备后提高了工作效率，每小时比出现故障前多加工 $10$ 个零件，从开始加工到加工完这批零件乙车间的工作效率不变且工作 $10$ 小时.甲、乙两车间加工这批零件的总数量 $y$ （件）与加工时间 $x$ （时）之间的函数图象如图所示.

(1)、甲车间每小时加工零件多少个；

(2)、求甲车间维修完设备后， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系；

(3)、求加工这批零件总数量的 $\frac{2}{3}$ 时所用的时间.

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20. 在 $Δ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $0 ° < ∠ C \leq 90 °$ .过点 $A$ 作射线 $A P / / B C$ ，点 M，、N分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上（点 $M$ 、 $N$ 不与所在线段端点重合），且 $B M = A N$ ，连结 $B N$ 并延长交 $A P$ 于点 $D$ ，连结 $M A$ 并延长交 $A D$ 的垂直平分线于点 $E$ ，连结 $E D$ .

(1)、【猜想】如图①，当 $∠ C = 45 °$ 时，可证 $Δ B C N ≅ Δ A C M$ .从而得出 $∠ C B N = ∠ C A M$ ，进而得出 $∠ B D E$ 的大小为多少度.

(2)、【探究】如图②，若 $∠ C = α$ .
Ⅰ.求证： $Δ B C N ≅ Δ A C M$ .

Ⅱ. $∠ B D E$ 的大小为多少度（用含 $α$ 的代数式表示）

(3)、【应用】如图③，当 $∠ C = 90 °$ 时，连结 $B E$ .若 $B C = 3$ ， $∠ B A M = 15 °$ ，则 $Δ B D E$ 的面积为多少.

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