2019年高考数学真题分类汇编专题07：基本初等函数（基础题）

试卷更新日期：2019-06-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a, & x ⩽ 1, \\ x - a \ln x, & x > 1, \end{array}$ 若关于 $x$ 的不等式 $f (x) ⩾ 0$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[0, e]$ D、 $[1, e]$

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2. 若a>b，则（）

A、ln(a−b)>0 B、3^a<3^b C、a³−b³>0 D、│a│>│b│

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3. 设a，b∈R ，函数f（x）= ${\begin{cases} x ， x < 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + a x ， x \geq 0 \end{cases}$ ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（）

A、a＜-1，b＜0 B、a＜-1，b>0 C、 a＞-1，b＞0 D、a>-1，b>0

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4. 在同一直角坐标系中，函数y= $\frac{1}{a^{x}}$ ，y=log_a(x+ $\frac{1}{2}$ ），（a>0且a≠1）的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 \sqrt{x} ， 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = - \frac{1}{4} x + a (a \in R)$ 恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（）

A、 $[\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}]$ B、 $(\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}]$ C、 $(\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}] \cup {1}$ D、 $[\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}] \cup {1}$

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6. 函数 $f (x) = 2 sin x - sin 2 x$ 在[0，2π]的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 函数 $y = \frac{2 x^{3}}{2^{x} + 2^{- x}}$ ，在[-6，6]的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= $e^{x}$ -1，则当x<0时，f（x）=（）

A、 $e^{- x}$ -1 B、 $e^{- x}$ +1 C、- $e^{- x}$ -1 D、- $e^{- x}$ +1

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9. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、y=2^-x C、 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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10. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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11. 关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数      ②f(x)在区间 $（ \frac{π}{2} ， π ）$ 单调递增

③f(x)在[-π，π]有4个零点          ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（   ）

A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③

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12. 函数f(x)= $\frac{\sin x + x}{\cos x + x^{2}}$ 在[- $π$ ， $π$ ]。的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ .若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{3}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{8}{3}]$

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14. 已知 $a = \log_{2} e$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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15. 已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \log_{0.5} 0.2$ ， $c = {0.5}^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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16. 已知 $a = \log_{2} 7, b = \log_{3} 8, c = {0.3}^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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17. 设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）

A、 $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ） B、 $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ） C、 $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}） D、 $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）

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18. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m₂-m₁= $\frac{5}{2} \lg \frac{E_{1}}{E_{2}}$ ，其中星等为m_k的星的亮度为E_k（k=1，2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A、10^10.1 B、10.1 C、lg10.1 D、10^-10.1

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19. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行． $L_{2}$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M₁ ，月球质量为M₂ ，地月距离为R， $L_{2}$ 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
$\frac{M_{1}}{{(R + r)}^{2}} + \frac{M_{2}}{r^{2}} = (R + r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$ .设 $α = \frac{r}{R}$ ，由于 $α$ 的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3 α^{3} + 3 α^{4} + α^{5}}{{(1 + α)}^{2}} \approx 3 α^{3}$ ，则r的近似值为（）

A、 $\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} R$ B、 $\sqrt{\frac{M_{2}}{2 M_{1}}} R$ C、 $\sqrt[3]{\frac{3 M_{2}}{M_{1}}} R$ D、 $\sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$

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二、填空题

20. 已知a∈R ，函数f（x）=ax³-x，若存在t∈R ，使得|f(t+2）-f（t）|≤ $\frac{2}{3}$ ，则实数a的最大值是

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21. 设 $f (x) ， g (x)$ 是定义在R上的两个周期函数， $f (x)$ 的周期为4， $g (x)$ 的周期为2，且 $f (x)$ 是奇函数.当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = {\begin{cases} k (x + 2) ， 0 < x \leq 1 \\ - \frac{1}{2} ， 1 < x \leq 2 \end{cases}$ ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

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22. 函数 $y = \sqrt{7 + 6 x - x^{2}}$ 的定义域是.

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23. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{a x}$ .若 $f (\ln 2) = 8$ ，则 $a =$ .

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24. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为。

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25. 设函数f（x）=e^x+ae^-x（a为常数）。若f（x）为奇函数，则a=：若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是.

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