2019年高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用（综合题）

试卷更新日期：2019-06-14 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c), a, b, c \in R$ 、 $f' (x)$ 为f（x）的导函数．

(1)、若a=b=c ， f（4）=8，求a的值；

(2)、若a≠b ， b=c ，且f（x）和 $f' (x)$ 的零点均在集合 ${- 3, 1, 3}$ 中，求f（x）的极小值；

(3)、若 $a = 0, 0 < b ⩽ 1, c = 1$ ，且f（x）的极大值为M ，求证:M≤ $\frac{4}{27}$ ．

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2. 已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ $\sqrt{x + 1}$ .x>0

(1)、当a=- $\frac{3}{4}$ 时，求函数f（x）的单调区间

(2)、对任意x∈[ $\frac{1}{e^{2}}$ ，+∞）均有f（x）≤ $\frac{\sqrt{x}}{2 a}$ ，求a的取值范围

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3. 设函数 $f (x) = \ln x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
（i）证明 $f (x)$ 恰有两个零点
（ii）设 $x$ 为 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明 $3 x_{0} - x_{1} > 2$ .

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4. 设函数 $f (x) = e^{x} \cos x, g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，证明 $f (x) + g (x) (\frac{π}{2} - x) ⩾ 0$ ；

（Ⅲ）设 $x_{n}$ 为函数 $u (x) = f (x) - 1$ 在区间 $(2 m + \frac{π}{4}, 2 m π + \frac{π}{2})$ 内的零点，其中 $n \in N$ ，证明 $2 n π + \frac{π}{2} - x_{n} < \frac{e^{- 2 n π}}{\sin x_{0} - \cos x_{0}}$ .

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5. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当0<a<3时，记 $f (x)$ 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求 $M - m$ 的取值范围.

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6. 已知函数f（x）=2x³-ax²+b.

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。

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7. 已知曲线C: $y = \frac{x^{2}}{2}$ ，D为直线y=- $\frac{1}{2}$ 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)、证明：直线AB过定点；

(2)、若以E（0， $\frac{5}{2}$ ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

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8. 已知函数 $f (x) = (x - 1) l n x - x - 1$ ，证明：

(1)、 $f (x)$ 存在唯一的极值点；

(2)、 $f (x) = 0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

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9. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ .

(1)、讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

(2)、设x₀是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x₀ ， ln x₀)处的切线也是曲线 $y = e^{x}$ 的切线.

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10. 已知函数f（x）= $\frac{1}{4}$ x³-x²+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.

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11. 已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。

(1)、证明：f'(x)在区间(0， π)存在唯一零点；

(2)、若xϵ[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。

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12. 已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：

(1)、f’(x)在区间(-1， $\frac{π}{2}$ )存在唯一极大值点；

(2)、f(x)有且仅有2个零点。

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